4.5 Вопросы для самопроверки

1. Какая функция называется первообразной для ?

2. Какова основная задача интегрального исчисления?

3. Сколько существует первообразных у одной функции и чем они отличаются друг от друга?

4. Что представляет собой геометрически неопределенный интеграл?

5. Какими свойствами обладает неопределенный интеграл?

6. Вычислите интегралы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Лекция № 5

ТЕМА: ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В

НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ

5.1 Метод интегрирования по частям

5.2 Метод замены переменной

5.3 Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

5.4 Интегрирование некоторых видов иррациональностей

5.5 Понятие о «неберущихся» интегралах

5.6 Вопросы для самопроверки

5.7 Вопросы для самостоятельной работы

1. Метод интегрирование по частям

Рассмотрим интеграл . Так как подынтегральная функция представлена в виде произведения, а правил его интегрирования нет, то возникла необходимость в рассмотрении интеграла от произведения функций и получения возможности его вычисления хотя бы в некоторых случаях. Такой способ называется методом интегрирования по частям.

Т еорема. Если и две дифференцируемые функции, то справедлива следующая формула интегрирования по частям:

. (5.1)

Доказательство. Рассмотрим произведение данных функций и , от которого найдем дифференциал:

. (5.2)

Проинтегрируем обе части равенства (5.2):

. (5.3)

Учитывая, что , получим:

, или

. (5.4)

В формуле (5.4) произвольной постоянной С мы не пишем, так как в правой части формулы остался неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную. Следовательно, формула (5.1) доказана.

Итак, формула интегрирование по частям (5.1) позволяет вычислить интеграл от произведения двух множителей и , при этом интеграл, стоящий в правой части формулы должен быть более простым, чем исходный. Это зависит, в первую очередь, от выбора и в исходном интеграле. Основными интегралами, берущимися по частям, являются следующие интегралы, в которых указано, что следует принимать за , а что за :

I

II

(5.5)

где - многочлен степени ; - некоторое число.

Анализируя формулу (5.1), мы отмечаем, что после выбора функции для нее необходимо определить ее дифференциал, поэтому называют дифференцируемым множителем. Для множителя определяют саму функцию путем интегрирования и тогда называют интегрируемым множителем:

(5.6)

Поясним применение этого метода на примерах.

Пример 5.1 Вычислить интегралы: а) ;

б) ; в) .

Решение. а) Так как в данном интеграле подынтегральная функция представляет собой произведение многочлена первой степени и синуса - , то его можно вычислить по формуле интегрирования по частям (5.1), учитывая рекомендации (5.5) по выбору и в этом случае:

б) Подынтегральная функция представлена в виде произведения многочлена третьей степени и логарифма, поэтому за дифференцируемый множитель примем , а за :

в)

В данном интеграле формула интегрирования по частям применялась дважды. Иногда для получения окончательного результата нужно интегрирование по частям применять последовательно несколько раз. С помощью двукратного интегрирования по частям вычисляются интегралы вида где - некоторые числа.