11.5 Вопросы для самопроверки

1. Какое дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейным? Как находят его общее решение?

2. Чем отличается уравнение Бернулли от линейного? Как находят его общее решение?

3. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением 2-го порядка?

4. Как записываются и что геометрически представляют собой начальные условия для уравнения 2-го порядка?

5. Как определяются общее и частное решения дифференциального уравнения 2-го порядка и что они представляют собой геометрически?

6. Для каких дифференциальных уравнений возможно понижение порядка и в чем оно состоит?

7. Среди перечисленных ниже уравнений указать уравнения:

а) с разделяющимися переменными; б) линейные:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Лекция № 12

ТЕМА: ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

12.1. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с

постоянными коэффициентами: определение и общие свойства

12.2. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами и их решение

12.3. Вопросы для самопроверки

12.4. Вопросы для самостоятельной работы

12.1 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами: определение и общие свойства

Ранее нами были рассмотрены линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Аналогично среди дифференциальных уравнений второго порядка выделяют линейные уравнения, к которым приводят многие задачи математики, механики и других технических наук.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка

с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

, (12.1)

где p, q – числа, а f(x) – заданная функция аргумента x.

Если , то линейное уравнение принимает вид

(12.2)

и называется однородным линейным дифференциальным уравнением (ОЛУ). Если же , то уравнение (12.1) называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением (НЛУ) с постоянными коэффициентами.

Например, уравнения:

и .

являются линейными, причем первое из них неоднородное, а второе – однородное, а уравнение не принадлежит к линейным, так как содержит квадрат производной.

12.2 Однородные линейные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами и их решение

Рассмотрим сначала, как находится общее решение однородного линейного уравнения (12.2) с постоянными коэффициентами.

Пусть y₁(x) и y₂(x) – два его частных решения, которые могут быть линейно независимыми или линейно зависимыми между собой. Дадим определение этим понятиям.

Определение. Два частных решения y₁(x) и y₂(x) ОЛУ (12.2) называются

линейно независимыми на отрезке [a, b], если их отношение отлично от

числа (константы) на этом отрезке.

В противном случае – решения линейно зависимы.

Например, решения y₁ = e^2x и y₂ = e^3x линейно независимы, так как .

Но решения y₁ = e^2x и y₃ = 5e^2x являются линейно зависимыми в силу того, что - константа.

Возникает вопрос: сколько и какие решения ОЛУ следует задать, чтобы с их помощью можно было описать все решения этого уравнения? Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема (о конструкции общего решения ОЛУ).

Если y₁(x) и y₂(x) – линейно независимые частные решения ОЛУ (12.2), то

общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих

частных решений, то есть имеет вид:

, (12.3)

где с₁, с₂ – произвольные постоянные.

Доказательство. 1) Покажем, что функция y, определяемая равенством (12.3), является решением ОЛУ.

Так как по условию y₁(x), y₂(x) – частные решения ОЛУ, то при их подстановке в это уравнение оно обращается в тождество: ,

.

Подставим в ОЛУ:

, или

Сгруппируем члены с одинаковыми функциями:

.

Так как получено тождество , то действительно является решением ОЛУ.

2) Можно показать, что формула (12.3) представляет собой общее решение ОЛУ, то есть любое его решение можно получить из формулы (12.3) при некоторых значениях постоянных с₁ и с₂.

Доказательство этого факта приводится в [1, 4].

Таким образом, из приведенной теоремы следует, что для нахождения общего решения ОЛУ достаточно найти два его линейно независимых частных решения.

Будем искать эти частные решения ОЛУ в виде:

, где k = const (12.4)

Тогда , .

Подставляя выражения для в уравнение (12.2), получим:

, то есть .

Так как , то

(12.5)

(12.5) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решения ОЛУ зависят от того, имеет ли соответствующее характеристическое уравнение (12.5) два различных корня, один корень или не имеет действительных корней. Корни характеристического уравнения определяются по формуле: , где - дискриминант уравнения.

Рассмотрим эти случаи.

1. Корни характеристического уравнения действительные и различные: k₁ ≠ k₂ (дискриминант D > 0).

Двум различным корням характеристического уравнения k₁ ≠ k₂ соответствуют два решения ОЛУ: . Эти решения являются линейно независимыми, так как их отношение отлично от числа:

.

Следовательно, общее решение ОЛУ согласно теореме о виде общего решения ОЛУ (12.3) запишется так:

(12.6)

2. Корни характеристического уравнения равные: (дискриминант D = 0).

В этом случае оба корня действительные и равные, и им соответствует лишь одно решение .

Возьмем в качестве второго решения , которое с первым линейно независимо, так как .

Покажем, что действительно является решением ОЛУ. Подставим и его производные в уравнение:

, .

,

или .

Но , так как k есть корень характеристического уравнения (12.5). Кроме того, по теореме Виета . Поэтому . Следовательно, получили тождество 0 0, а это означает, что - решение уравнения.

Таким образом, в этом случае общее решение ОЛУ имеет вид:

, или

(12.7)