5.6 Вопросы для самопроверки

1. Как выглядит формула интегрирования по частям?

2. Какие интегралы вычисляют с помощью метода интегрирования по частям и что принимают в них за дифференцируемый, а что за интегрируемый множители?

3. Как выглядит формула замены переменной?

4. Каковы основные этапы замены переменной в неопределенном интеграле?

5. С помощью какой замены переменной вычисляют интегралы, содержащие квадратный трехчлен?

6. Что означает термин «неберущийся» интеграл?

5.7 Вопросы для самостоятельной работы

С помощью рекомендуемой литературы [1, 3] найдите и законспектируйте ответы на вопросы:

1) Какие рациональные дроби называют простейшими и как их интегрируют?

2) Как разложить рациональную дробь на простейшие?

Лекция № 6

Тема: ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

6.1 Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла:

а) задача о площади криволинейной трапеции;

б) задача об объеме выпускаемой продукции

6.2 Интегральная сумма. Понятие определенного интеграла

6.3 Геометрический смысл определенного интеграла

6.4 Экономический смысл определенного интеграла

6.5 Свойства определенного интеграла

6.6 Вопросы для самопроверки

6.7 Вопросы для самостоятельной работы

6.1 Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла:

а) задача о площади криволинейной трапеции

В школьном курсе геометрии рассматривались площади плоских фигур, ограниченных прямолинейными отрезками, а также площадь круга и его частей. Однако часто приходится вычислять площади фигур, отличных от перечисленных. Рассмотрим частный случай такой фигуры, называемой криволинейной трапецией.

Пусть на отрезке задана неотрицательная функция (рисунок 10).

Рисунок 10

О пределение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная кривой прямыми и осью абсцисс.

Необходимо определить площадь криволинейной трапеции S. Для этого разобьем отрезок произвольным образом на n частей, обозначив точки деления: .

Точки деления разбивают отрезок на n малых или частичных отрезков, длины которых обозначим так:

.

При этом вся криволинейная трапеция разбивается на n малых трапеций с основаниями и площадями . Тогда площадь всей криволинейной трапеции будет равна: .

Однако площади мы также не умеем вычислять. Попробуем для их вычисления применить принцип Архимеда, известный как «метод исчерпывания». Для этого в малые трапеции впишем прямоугольники, площади которых мы умеем вычислять. Выберем на каждом из частичных отрезков произвольным образом по точке и вычислим значения функции в них, т.е. (рисунок 10). Заменим площадь каждой малой криволинейной трапеции на площадь соответствующего прямоугольника с основанием, равным длине частичного отрезка и высотой, равной значению функции в выбранной на этом отрезке точке . Тогда площадь прямоугольника равна . Приняв площадь этого прямоугольника за приближенное значение площади малой криволинейной трапеции, получим

.

При таком построении мы имеем ступенчатую фигуру (рисунок 10), площадь которой дает нам приближенное значение площади криволинейной трапеции:

или в более короткой записи

. (6.1)

Обозначим через наибольшую из длин частичных отрезков: . С уменьшением точность приближенной формулы (6.1) увеличивается. Поэтому вполне естественно за точное значение площади S криволинейной трапеции принять предел суммы площадей прямоугольников при условии, что наибольшая длина частичных отрезков стремится к нулю. Тогда имеем

(6.2)

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции привело нас к нахождению предела некоторой суммы вида (6.2).

б) задача об объеме выпускаемой продукции

Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени . Необходимо

найти объем продукции , произведенной за промежуток времени .

Для этого поступим следующим образом. Разобьем отрезок произвольным образом на промежутков времени, обозначив точки деления так:

.

Обозначим длину каждого промежутка времени как и выберем на каждом из частичных промежутков времени произвольным образом по точке . Будем считать, что производительность на каждом промежутке времени постоянна и равна ее значению в выбранной точке, т.е. . Тогда величина объема продукции , произведенной за промежуток времени [ ] , равна: .

Объем всей произведенной продукции будет приближенно равен сумме :

. (6.3)

Обозначим через наибольшую из длин промежутков времени:

.

При стремлении к нулю приближенное равенство (6.3) становится все более точным, поэтому

(6.4)