10.2 Дифференциальные уравнения первого порядка:

основные понятия

О пределение. Уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производную называется дифференциальным уравнением первого порядка.

В общем виде его можно записать следующим образом:

(10.4)

Уравнение (10.4) может не содержать в явном виде и , но обязательно содержит .

Разрешая уравнение (10.4), если это возможно, относительно , получаем

(10.5)

Уравнение (10.5) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Поскольку , то уравнение (10.5) можно записать как . В таком виде оно является частным случаем более общего уравнения:

(10.6)

(10.6) – запись дифференциального уравнения первого порядка в дифференциальной форме.

О пределение. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, например, функция , где - произвольное постоянное число, является решением уравнения . Действительно, .

Поскольку отыскание функции производится по известной ее производной, то в большинстве случаев приходится выполнять операции интегрирования. Поэтому процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

О пределение. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Так как при интегрировании дифференциального уравнения первого порядка мы получаем множество первообразных для искомой функции , то этому уравнению соответствует бесчисленное множество решений вида:

(10.7)

а, следовательно, и бесчисленное множество интегральных кривых.

Т ак для уравнения , рассмотренного выше, бесчисленное множество (семейство) интегральных кривых описы-

вается уравнением , которое

представлено на рисунке 40 в виде пучка

прямых с центром в начале координат.

Для выделения из множества интег-

ральных кривых конкретной интегральной

кривой, т.е. конкретного решения дифферен-

циального уравнения, необходимо дополни-

тельное условие. Как правило, оно описывает

начальное состояние изучаемого процесса. Рисунок 40

В связи с этим его называют начальным условием и записывают в виде:

или (10.8)

т.е. при функция должна быть равна заданному числу . Геометрически начальное условие (10.8) задает на плоскости точку, через которую пройдет конкретная интегральная кривая (рисунок 40).

Условия, при которых дифференциальное уравнение вида имеет решение, сформулированы в теореме Коши. Ее мы приведем без доказательства.

Т еорема Коши (существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка). Если правая часть уравнения и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области изменение переменных и , то какова бы ни была внутренняя точка этой области, данное уравнение имеет единственное решение , принимающее при значение .

Геометрически это означает, что через каждую внутреннюю точку области проходит единственная интегральная кривая.

Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию называется задачей Коши.

Точки плоскости, в которых не выполняются условия теоремы существования и единственности решения, называются особыми точками дифференциального уравнения. В этих точках терпит разрыв или функция или ее частная производная . Через каждую из таких точек может проходить либо несколько интегральных кривых, либо не проходит ни одной.

В рассмотренном выше дифференциальном уравнении правая его часть и ее частная производная непрерывны при . Таким образом, во всей плоскости за исключением оси , правая часть уравнения удовлетворяет условиям теоремы Коши. Точки, лежащие на оси , являются особыми, через них не проходит ни одной интегральной кривой, кроме начала координат, через которое проходит бесчисленное множество интегральных кривых.

Решение дифференциального уравнения первого порядка вида называют общим решением, а решения, полученные из общего при конкретном значении произвольной постоянной , т.е. вида , называют частными решениями.

Дадим их определения.

О пределение. Функция , зависящая от аргумента и произвольной постоянной , называется общим решением уравнения в области , если она удовлетворяет двум условиям:

1) при любых значениях произвольной постоянной функция

является решением уравнения;

2) какова бы ни была точка , лежащая внутри некоторой области , существует единственное значение постоянной такое, что решение удовлетворяет начальному условию .

О пределение. Всякое решение дифференциального уравнения , получающееся из общего решения при конкретном значении , называется частным решением.

Замечание. Если общее решение дифференциального уравнения найдено в виде, не разрешенном относительно , т.е. в виде , то такое решение называется общим интегралом уравнения, а решение вида - частным интегралом.

Следовательно, геометрически общему решению дифференциального уравнения соответствует семейство интегральных кривых, а частному решению соответствует одна кривая из этого семейства, проходящая через точку

Перейдем теперь к рассмотрению методов нахождения решений дифференциальных уравнений первого порядка. Вообще не существует единого метода нахождения решений уравнения вида (10.5) или (10.6) при любых или , . Поэтому мы рассмотрим методы решения уравнений лишь в некоторых частных случаях.