10.5 Вопросы для самопроверки
1. Какие уравнения называются дифференциальными? Укажите,
какие из указанных ниже уравнений не являются дифференциальными:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
?
2. Как определяется порядок уравнения? Каков порядок уравнений
ж), д), е)?
3. В каких видах может быть представлено дифференциальное
уравнение первого порядка?
4. Что называется решением дифференциального уравнения?
5. Как выглядят общее и частное решение уравнения 1-го порядка и
чем они отличаются друг от друга?
6. Какое уравнение называется: а) уравнением с разделенными
переменными; б) уравнением с разделяющимися переменными?
Как находят их общие интегралы?
7. Среди ниже перечисленных уравнений укажите уравнения с
разделенными и
разделяющимися переменными: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
10.6 Вопросы для самостоятельной работы
Используя рекомендуемую литературу [1, 4], изучите и законспектируйте ответы на вопросы:
1) Какая функция называется однородной функцией степени ?
2) Какое дифференциальное уравнение называется однородным? Как находится его общий интеграл?
Лекция 11
Тема: Линейные дифференциальные уравнения
1-го порядка. Дифференциальные уравнения 2-го порядка: основные понятия
11.1 Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли
11.2 Использование дифференциальных уравнений в экономике
11.3 Дифференциальные уравнения 2-го порядка: основные понятия
11.4 Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка
11.5 Вопросы для самопроверки.
11.1 Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Уравнение Бернулли
О
пределение.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка
называется линейным, если оно имеет
вид:
(11.1)
где
- некоторые непрерывные функции переменной
.
Особенность уравнения (11.1) состоит в том, что искомая функция и ее производная входят в него в первой степени, причем нет произведения на .
Р
ешение
линейного уравнения находят с помощью
подставки Эйлера-Бернулли:
,
(11.2)
где
и
некоторые дифференцируемые функции,
определяемые как решения двух
дифференциальных уравнений с разделяющимися
переменными.
Действительно,
найдем из (11.2)
и подставим
и
в уравнение (11.1):
Сгруппируем в левой части равенства второе и третье слагаемые, и вынесем за скобки общий множитель :
(11.3)
Потребуем от
функции
быть такой, чтобы выражение, стоящее в
скобках, обратилось в ноль:
= 0 (11.4)
Тогда из (11.3)
получим, что
(11.5)
Уравнения (11.4) и (11.5) с разделяющимися переменными, из которых последовательно находятся функции и , причем для выбирается какое-нибудь конкретное решение, отличное от нуля.
Подставляя полученные значения для функций и в формулу (11.2), находят искомую функцию .
Пример 11.1
Найти общее решение уравнения:
.
Решение.
Так как в данное уравнение
и
входят в первой степени, то оно является
линейным. Будем искать его решение в
виде
,
откуда
.
Подставляя эти выражения в исходное
уравнение, получаем:
или
,
.
Выберем функцию
такой, чтобы выражение в скобках
обратилось в ноль:
,
тогда
.
Решаем последовательно эти уравнения:
1)
(при нахождении
функции
, считаем, что
Подставляем найденное выражение для функции в уравнение 2) и решаем его. |
2)
где -произвольная постоянная.
|
)
Следовательно,
- общее решение уравнения.
О
пределение.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка
называется
уравнением
Бернулли,
если оно имеет вид:
(11.6)
где
.
Если
,
то имеем линейное уравнение, а при
(11.6) определяет уравнение с разделяющимися
переменными.
Уравнение Бернулли
приводится к линейному с помощью
подстановки
,
либо решается сразу с помощью подстановки
Эйлера-Бернулли
.
Пример 11.2
Найти общее решение уравнения:
.
Решение.
Данное уравнение является уравнением
Бернулли. Найдем его решение в виде
,
.
Сгруппируем слева второе и третье
слагаемые, и вынесем
за скобку:
.
Далее решаем так же, как и в линейном
уравнении:
1)
2)
|
или
|
откуда
=
.
Следовательно,
- общее решение уравнения.
11.2 Использование дифференциальных уравнений в экономике
Рассмотрим примеры применения дифференциальных уравнений для описания (простейших) процессов макроэкономической динамики.
Пример
11.3 Выяснить,
по истечении какого промежутка времени
объем реализованной продукции удвоится
по сравнению с первоначальным, если
скорость изменения объема пропорциональна
ему с коэффициентом пропорциональности
.
На сколько процентов следует увеличить
норму инвестиций, чтобы промежуток
времени, необходимый для удвоения объема
реализованной продукции, уменьшился
на 20 %?
Решение.
Пусть
- объем продукции, реализованной к
моменту времени
.
Предположим, что цена на данный товар
остается постоянной (в пределах
рассматриваемого промежутка времени).
Тогда функция
удовлетворяет уравнению
,
или
,
где
- норма инвестиций в начальный момент
времени
.
Уравнение такого вида, являющееся
уравнением с разделяющимися переменными,
было нами решено. Частное решение в
общем виде записывалось так (10.15):
,
где
Полагая в нем
приходим к равенству
,
или
,
откуда
(ед.времени).
Следовательно, через 6,93 ед.времени объем реализованной продукции удвоится.
Из предыдущего
равенства можно выразить зависимость
нормы инвестиций
от времени:
.
Полагая в нем
(уменьшили промежуток времени
на 20 %), получим, что
,
т.е. норму инвестиций следует увеличить
на 25 %.
Пример
11.4 Функции
спроса и предложения соответственно
имеют вид:
,
.
Найти зависимость равновесной цены
от времени
,
если в начальный момент
.
Решение.
Равновесная цена
определяется из равенства спроса и
предложения:
=
,
откуда
,
т.е. получаем уравнение с разделяющимися
переменными. Разделяя переменные и
интегрируя, приходим к общему решению
.
Из условия
следует, что
,
так что окончательно
.
Так как
,
то цена обладает устойчивостью.
11.3 Дифференциальные уравнения 2-го порядка: основные
понятия
О пределение. Уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее первую и вторую производные, называется дифференциальным уравнением 2-го порядка.
В общем случае дифференциальное уравнение 2-го порядка записывается в виде
(11.7)
и ли, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной:
(11.8)
На предыдущей лекции мы рассмотрели задачу 2 по определению пути, пройденного падающей материальной точкой массой , за время , и получили дифференциальное уравнение 2-го порядка вида:
где
м/с2
- ускорение свободного падения.
Как и в случае
уравнения 1-го порядка для уравнения
2-го порядка существует общее и частное
решение. Рассмотрим, какой вид имеет
общее решение и как из него выделяется
частное решение. Для решения уравнения
введем обозначение
.
Тогда
,
и наше уравнение примет вид
.
Умножим его на
и проинтегрируем:
,
или
.
Интегрируя еще раз, найдем
. (11.9)
П
и является общим
решением дифференциального
уравнения. Геометрически это
решение представляет множество
парабол (интегральных кривых),
причем через каждую точку плос-
кости, очевидно, проходит беско-
нечное множество парабол (рису-
нок 41). Для выделения из мно-
жества этих кривых какой-либо
одной интегральной кривой необ- Рисунок 41
ходимо,
кроме координат точки
через которую проходят параболы,
дополнительно задать угловой коэффициент
касательной, т.е. значение в этой точке
производной
.
Таким образом, начальные условия должны
иметь вид:
,
где
- заданные числа.
В нашей задаче в
начальный момент времени
путь
,
пройденный материальной точкой, равен
нулю, т.е.
,
а скорость равна
,
т.е.
.
Найдем частное решение, удовлетворяющее
этим начальным условиям. Из общего
решения
и значения
с использованием начальных условий
получаем для определения
и
систему уравнений:
,
поэтому искомое частное решение имеет
вид
и представляет собой зависимость
пройденного пути от времени при свободном
падении тела.
Результаты, полученные в этом простейшем примере, остаются справедливыми и в общем случае уравнения 2-го порядка.
Для уравнений 2-го порядка справедлива, как и для уравнений 1-го порядка, теорема существования и единственности (теорема Коши) решения, которую мы приведем без доказательства.
Т
еорема
(Коши).
Пусть правая часть
уравнения
и ее частные производные
и
определены и непрерывны в некоторой
области
изменения переменных
.
Тогда какова бы ни была внутренняя точка
этой области, данное уравнение имеет
единственное решение
,
удовлетворяющее начальным условиям
(11.10)
Задача нахождения решения уравнения 2-го порядка , удовлетворяющего заданным начальным условиям (11.10), как и в случае уравнения 1-го порядка, называется задачей Коши.
Дадим определение общего и частного решений уравнения 2-го порядка.
О
пределение.
Функция
,
зависящая от аргумента
и двух произвольных постоянных
и
,
называется общим
решением
уравнения 2-го порядка, если она
удовлетворяет двум условиям:
1) при любых значениях произвольных постоянных и функция является решением уравнения;
2)
каковы бы ни были начальные условия
(11.10)
, существуют единственные значения
постоянных
и
такие, что функция
является решением уравнения и удовлетворяет
начальным условиям.
О
пределение.
Частным
решением
уравнения 2-го порядка называется всякое
решение, полученное из общего решения
при конкретных значениях произвольных
постоянных
и
.
Замечание.
Если общее решение дифференциального
уравнения 2-го порядка получено в виде,
не разрешенном относительной функции
,
т.е.
,
то это соотношение называют общим
интегралом
данного уравнения, а соотношение вида
- частным
интегралом.
11.4 Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие
понижение порядка
В некоторых случаях решение дифференциального уравнения 2-го порядка может быть сведено с помощью замены переменной к уравнениям 1-го порядка. Такое преобразование уравнения называется понижением порядка.
Рассмотрим простейшие уравнения, допускающие понижения порядка:
(11.11)
и
(11.12)
Вводя в них новую
функцию
,
будем иметь, что
.
Тем самым уравнения 2-го порядка (11.11) и
(11.12) преобразуются к уравнениям 1-го
порядка.
Пример 11.5
Найти общие решения уравнений: а)
;
б)
Решение.
а)
Полагая
,
будем иметь уравнение
,
которое является уравнением с
разделяющимися переменными. Интегрируя
его, получим:
или
.
Заменяя
на
и интегрируя еще раз, находим общее
решение уравнения:
,
так как
,
то
,
- общее решение
уравнения.
б)
Введем замену
,
тогда
,
и исходное уравнение примет вид:
или
.
Откуда разделяя переменные, имеем
.
Интегрируя, получаем:
или по свойствам
логарифмов и дальнейшего потенцирования,
найдем решение:
или
.
Возвращаясь к
первоначальной функции, получаем
уравнение
,
или
,
решая которое, окончательно имеем:
- общее решение.