6.2 Интегральная сумма. Понятие определенного интеграла

Рассматривая приведенные выше задачи, которые отличаются друг от друга по смыслу, мы видим, что процедуры получения площади или объема выпущенной продукции одинаковы.

Обобщим решения этих задач и многих им подобных.

Рассмотрим произвольную непрерывную функцию на отрезке , принимающую неотрицательные значения . И выполним те же действия, что и в рассмотренных выше задачах:

1⁰. Разобьем отрезок произвольным образом на частей: , обозначив длину каждого частичного отрезка через .

2⁰. На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т.е. величину . Определим произведения .

3⁰. Составим сумму всех этих произведений

. (6.5)

Сумма вида (6.5) называется интегральной суммой для функции на отрезке .

4⁰. Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка: . Найдем предел интегральной суммы (6.5), когда число частей разбиения неограниченно растет , а при этом стремится к нулю . Если интегральная сумма имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора в них, то это число называется определенным интегралом.

О пределение. Определенным интегралом от функции на отрезке называется число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, при условии, что максимальная длина частей разбиения стремится к нулю:

, (6.6)

где - определенный интеграл от до от на ;

и - соответственно нижний и верхний пределы интегрирования;

- подынтегральная функция;

- подынтегральное выражение;

- переменная интегрирования;

- отрезок интегрирования.

Функция , для которой на отрезке существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.

Т еорема (существования интеграла). Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке, т.е. определенный интеграл от этой функции существует.

6.3 Геометрический смысл определенного интеграла

Исходя из задачи о площади криволинейной

т рапеции, можно сформулировать геометрический

смысл определенного интеграла:

п лощадь криволинейной трапеции, ограниченной

сверху кривой , снизу отрезком

оси , слева и справа прямыми ,

численно равна определенному интегралу

от функции , взятому по отрезку

(рисунок 11). Рисунок 11

(6.7)

6.4 Экономический смысл определенного интеграла

На основании задачи об объеме выпускаемой продукции и определения интеграла, получаем экономический смысл определенного интеграла:

о бъем выпускаемой продукции за промежуток времени численно равен значению определенного интеграла от производительности труда на этом промежутке

(6.8)

Можно привести и другие примеры использования интеграла в экономике.

Экономисты выделяют два вида величин: потоки и стоки, которые анализируются парами.

Например, касса предприятия каждый день составляет отчет: сколько выдано и сколько принято денег. Рассмотренная как ежедневная эта величина есть поток, а кассовый отчет за месяц есть уже величина–сток. С математической точки зрения величины – потоки есть мгновенные скорости (производные) изменения величин-стоков, и наоборот, величины-стоки – это интегралы от величин-потоков за какое-то время.

Так, например, мгновенная мощность производства, мгновенные значения мощности включенных в квартире электрических устройств, дебет газового месторождения, мгновенный расход воды и т.п. – есть величины-потоки, а выпуск продукции, расход электричества или воды за месяц, количество добытого за месяц газа есть величины-стоки.

Если - стоковая величина, а потоковая, то за период времени

(6.9)

6.5 Свойства определенного интеграла

При рассмотрении свойств определенного интеграла будем предполагать интегрируемость всех рассматриваемых функций на выделенных отрезках интегрирования.

1⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

где - число (6.10)

Доказательство. По определению определенного интеграла можно записать: .

Используя распределительный закон умножения чисел, а также свойства пределов, имеем:

ч.т.д.

2⁰. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от каждой из них:

(6.11)

Доказательство свойства 2⁰ проводится так же, как и для свойства 1⁰.

Приведенные выше свойства 1⁰ и 2⁰ аналогичны таким же свойствам неопределенного интеграла.

Теперь рассмотрим свойства, не имеющие аналогов в случае неопределенного интеграла.

3⁰. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых :

(6.12)

Доказательство. Рассмотрим отрезок интегрирования , который точкой разбит на части (рисунок 12).

Рисунок 12

По определению определенного интеграла: .

В этом определении точки деления отрезка при составлении интегральной суммы выбираются произвольно, поэтому точку можно включить в число точек деления, т.е. положить, что . Тогда имеем:

+

По определению определенного интеграла будем иметь:

ч.т.д.