7.2 Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Для нахождения определенного интеграла применяют те же методы, что и в неопределенном интеграле, но они, конечно, будут иметь и некоторые особенности. Рассмотрим основные из этих методов.

Т еорема. Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула интегрирования по частям:

(7.5)

Доказательство. Вывод этой формулы следует из формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла:

.

Тогда , и т.д.

Замечание. Все рекомендации, которые были даны для метода интегрирования по частям в неопределенном интеграле, справедливы и для определенного интеграла.

Пример 7.2 Вычислить определенный интеграл: .

Решение. Подынтегральную функцию можно представить как произведение . Считая, что единица – это многочлен нулевой степени, по рекомендациям в неопределенном интеграле принимаем . Тогда по формуле (7.5) получим:

= .

7.3 Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке , а функция непрерывна вместе со своей производной φ'(t) на отрезке , где , и . Тогда справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

(7.6)

Доказательство. 1. Покажем, что интеграл, стоящий в правой части формулы (7.6) существует.

Функция по условию теоремы дифференцируема на отрезке

, а, следовательно, и непрерывна на нем. На концах этого отрезка φ(t) принимает значения и , а поэтому, в силу свойства непрерывной на отрезке функции, принимает все значения из отрезка [a;b] при изменении t от до . Не исключено, что при этом не только пробегает весь отрезок [a; b], но и выходит за его пределы. Считая, что f(x) непрерывна не только на [a; b], но и в этих точках за его пределами, имеем, что непрерывна на , а f(x) – непрерывна для соответствующих значений x. Следовательно, в силу непрерывности сложной функции, функция непрерывна на . Тогда подынтегральная функция, стоящая в правой части формулы (7.6), непрерывна на как произведение двух непрерывных функций, что обеспечивает существование интеграла .

2. Докажем справедливость формулы (7.6).

Пусть F(x) – первообразная для f(x) на отрезке [a; b], тогда по формуле Ньютона – Лейбница можно записать:

.

Если в первообразной F(x) положить , то будет первообразной для функции , . Действительно, . Поэтому по формуле Ньютона - Лейбница получаем:

, ч.т.д.

На основании доказанной теоремы сформулируем

Этапы замены переменной в определенном интеграле

1°. Выбираем подходящую подстановку, например, вида: .

2°. Пересчитываем дифференциал независимой переменной: .

3°. Пересчитываем новые пределы интегрирования:

нижний предел ;

нижний предел ;

4°. Заменяем в исходном интеграле x, dx и пределы интегрирования на новые значения, полученные в п. 1° - 3°.

5°. Производя алгебраические преобразования, сводим интеграл к табличному (или их сумме) и вычисляем по формуле Ньютона – Лейбница (не возвращаясь к старой переменной!).

Замечания. 1. Иногда вместо подстановки удобнее применять замену вида: .

2. Все рекомендации, данные для вычисления неопределенных интегралов с помощью замены переменной, остаются в силе и при вычислении определенных интегралов.

Пример 7.3 Ввычислить определенные интегралы: а) ;

б) .

Решение. а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе подынтегральной функции, введем подстановку , а далее выполняем все этапы замены переменной:

.

Отметим, что при вычислении новых пределов интегрирования, можно было бы в их качестве выбрать числа и , результат интегрирования от этого не изменится.

б) В подынтегральной функции содержится квадратный трехчлен. В этом случае вводят новую переменную t, равную половине производной от квадратного трехчлена:

или :

.