9.5 Вопросы для самопроверки

1. На чем основана идея применения приближенных методов интегрирования?

2. Запишите, как выглядят формулы приближенного вычисления определенного интеграла: а) прямоугольников; б) трапеций; в) Симпсона и как оценивается погрешность вычислений по ним.

3. Как в формулах приближенного вычисления интеграла определяют шаг разбиения?; точки деления ?; значения функции ?

9.6 Вопросы для самостоятельной работы

С помощью рекомендуемой литературы [1] изучите и законспектируйте признаки сходимости несобственных интегралов.

Лекция 10

Тема: Дифференциальные уравнения: основные

понятия. Дифференциальные уравнения с

разделенными и разделяющимися переменными

10.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

10.2 Дифференциальные уравнения первого порядка: основные понятия

10.3 Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

10.4 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

10.5 Вопросы для самопроверки.

10.6 Вопросы для самостоятельной работы

10.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

При решении многих задач физики, механики, экономики, социологии и т.п. часто не удается установить непосредственную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удается составить уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такое уравнение называется дифференциальным.

Простейший пример дифференциального уравнения дает задача о нахождении первообразной для заданной функции , так как по определению .

Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям.

Задача 1. Из статистических данных известно, что для рассматриваемого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с коэффициентами пропорциональности и соответственно. Найти закон изменения численности населения с течением времени. (Описать протекание демографического процесса).

Решение. Пусть - число жителей региона в момент времени . Прирост населения за время равен разности между числом родившихся и умерших за это время, т.е. или .

Обозначим через и поделим обе части равенства на

.

Переходя к пределу при , получаем уравнение

(10.1)

которое является дифференциальным. Его решение будет приведено позже.

Задача 2. Материальная точка массы падает под действием силы земного притяжения. Требуется определить путь, пройденный точкой за время , если в начальный момент точка имела скорость .

Р ешение. Примем вертикальную прямую, по которой движется точка, за ось . За начало координат возьмем точку оси, соответствующую положению точки в начальный момент (при ). За положительное направление оси примем направление к Земле (рисунок 39).

Пройденный точкой путь будет некоторой

функцией времени . Нужно определить вид

функциональной зависимости .

Из механики известно, что при свободном

падении ускорение падающего тела пос-

тоянно и равно 9,81 м/с². Рисунок 39

С другой стороны известно, что ускорение равно второй производной от пути по времени, т.е. . Приравнивая эти два выражения, получаем

. (10.2)

Мы снова получили дифференциальное уравнение, которое содержит, в отличие от уравнения (10.1), вторую производную. Нам надо найти решение этого уравнения, удовлетворяющее ограничениям, указанным в условии задачи: в начальный момент пройденный путь равен нулю и начальная скорость равна . Так как скорость есть первая производная от пути по времени, то начальные условия запишутся так:

; . (10.3)

Решение этой задачи будет приведено позже.

Как показывают приведенные примеры, дифференциальное уравнение может содержать первую, вторую производную или производные более высоких порядков. Введем следующее определение.

О пределение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение.

Следовательно, уравнение (10.1) – дифференциальное уравнение первого порядка, а (10.2) – второго порядка.

Перейдем теперь к изучению дифференциальных уравнений первого порядка.