15.4 Функциональные ряды. Область сходимости степенного ряда

До сих пор мы рассматривали числовые ряды, членами которых были числа, а теперь перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, определенные в некоторой области изменения аргумента x:

(15.9)

Ряд вида называется функциональным рядом.

Придавая x какое-либо значение x₀ из области определения функций , получим числовой ряд , (15.10)

который может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

Определение. Точка называется точкой сходимости функционального

ряда, если при он обращается в сходящийся числовой ряд. Если при

ряд (15.10) сходится, то называется точкой расходимости функционального ряда.

Определение. Совокупность всех взятых точек сходимости функционально-

го ряда называется областью его сходимости.

Пример 15.6 Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение. Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Как было доказано ранее, ряд составленный из членов геометрической прогрессии сходится, если и расходится при . По определению синуса . Следовательно, ряд сходится при всех значениях x, кроме тех, где , .

Итак, область сходимости - вся числовая прямая, кроме точек , (рисунок 44).

Рисунок 44

15.5 Степенные ряды. Нахождение области сходимости степенного

ряда

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (15.11)

где с и коэффициенты ряда - постоянные числа.

В частности, при с = 0 степенной ряд примет вид:

(15.12)

Если в ряде (15.11) положить x – c = t, то он будет приведен к виду:

. (15.13)

Поэтому изучение всех основных свойств степенных рядов мы будем проводить на примере ряда вида (15.12).

Прежде всего, выясним, какой вид имеет область сходимости ряда (15.12). Структура этой области устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема (Абеля). Областью сходимости степенного ряда является

интервал , к которому, в зависимости от конкретных случаев, могут

быть добавлены концевые точки ±R. В каждой точке интервала ряд

сходится абсолютно, при этом число (15.14)

называется радиусом сходимости, а интервал - интервалом сходи-

мости.

Теорему Абеля можно проиллюстрировать на рисунке 45:

Рисунок 45

Замечания. 1. Если R = 0, то область сходимости выраждается в точку ; если , то область сходимость – вся числовая прямая.

2. Для рядов, у которых бесконечное число коэффициентов, например, с четными, нечетными или другими номерами равны нулю, применять формулу (15.14) для отыскания радиуса сходимости нельзя. В этих случаях нужно использовать признак Даламбера к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного степенного ряда. Данный ряд будет абсолютно сходиться, если , и расходиться, если .

3) Для степенного ряда радиус сходимости находится также по формуле (15.14), а интервал сходимости из условия , то есть имеет вид: .

Пример 15.7 Найти область сходимости степенного ряда:

.

Решение. Общий член ряда имеет вид: и, следовательно, коэффициент . Найдем радиус сходимости по формуле (15.14):

, то есть интервал сходимости ряда имеет вид: (-1; 1).

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. При x = -1 имеем знакочередующийся ряд:

.

Так как члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают , при любом и , то по признаку Лейбница ряд сходится и является точкой сходимости. При получаем знакоположительный ряд: .

Исследуем его на сходимость с помощью предельного признака сравнения.

- сходится как обобщенный гармонический ряд .

- сходится точка

сходимости ряда.

Следовательно, область сходимости ряда будет иметь вид: [-1; 1].