4.2 Геометрический смысл неопределенного интеграла

Пусть задан неопределенный интеграл .

Назовем график первообразной функции для интегральной кривой. Тогда из определения интеграла следует, что неопределенный интеграл геометрически представляется семейством всех интегральных

кривых.

В

се кривые из этого семейства могут быть получены из одной интегральной кривой параллельным сдвигом в направлении оси .

Так, например, для

интегральная кривая - парабола,

а - семейство парабол, у кото-

рых вершина сдвигается вдоль оси

Oy на расстояние С от начала

координат(рисунок 9).

Естественно поставить перед

собой вопрос: от любой ли функции

можно вычислить интеграл?

Ответ на этот вопрос дает теорема Рисунок 9

существования неопределенного интеграла.

Т еорема. Неопределенный интеграл от непрерывной функции на некотором множестве Х всегда существует на этом множестве.

4.3 Основные свойства неопределенного интеграла

1⁰. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

(4.3)

Доказательство. По определению неопределенного интеграла , где - первообразная для , т.е. . Тогда ч.т.д.

2⁰.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

(4.4)

Доказательство. По определению дифференциала и свойству 1⁰ имеем:

, ч.т.д.

3⁰.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

(4.5)

Доказательство. Рассмотрим дифференциалы левой и правой частей равенства (4.5): .

Так как дифференциалы двух функций равны, то они отличаются друг от друга лишь на произвольное постоянное число С, т.е.

, ч.т.д.

Доказанные свойства 1⁰-3⁰ устанавливают связь между операциями дифференцирования и интегрирования, указывая на то, что они являются взаимно обратными действиями.

Рассмотрим еще два свойства интеграла, которые позволят их применять для вычисления неопределенных интегралов.

40. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности, т.Е.

(4.6)

Доказательство. Равенство (4.6) следует понимать в том смысле, что левая и правая его части отличаются на постоянное слагаемое. Поэтому, чтобы установить справедливость равенства, достаточно показать, что производная (или дифференциал) левой части равна производной (или дифференциалу) правой части.

Рассмотрим производные левой и правой частей:

ч.т.д.

50.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.Е.

, (4.7)

где - некоторое число.

Доказательство свойства 5⁰ проводится также, как и у свойства 4⁰.

4.4 Таблица правил и формул интегрирования

Отыскание первообразной для данной функции – задача более трудная, чем задача нахождения по данной функции ее производной. В дифференциальном исчислении мы нашли производные основных элементарных функ-

ций, установили правила дифференцирования суммы, произведения, частного, а также сложной функции. Эти правила позволяли нам определять производные любых элементарных функций.

Для отыскания первообразных от элементарных функций таких простых и универсальных правил и рецептов, как в дифференциальном исчислении, не существует.

Так, например, нет никаких определенных правил для нахождения первообразных от произведения, частного двух элементарных функций, даже если первообразную каждой из этих элементарных функций мы умеем найти.

Для облегчения интегрирования составлена таблица 1 так называемых основных интегралов. Эта таблица получена из основных формул дифференциального исчисления и определения неопределенного интеграла.

Вывод этих формул основан на нахождении дифференциала правой части равенства и сравнении его с подынтегральным выражением левой части.

Таблица 1 – Таблица интегралов