2.3.3. Закон Био - Савара - Лапласа

Три французских ученых в 1820 г. открыли закон, который позволяет рассчитать вектор магнитной индукции, созданный проводником с током. Также можно вычислять напряженность магнитного поля , которая связана с вектором магнитной индукции соотношением (2.33).

Закон Био - Савара - Лапласа записывается для элемента тока. Элементом тока называется вектор, модуль которого равен произведению силы тока в проводнике на длину малого отрезка этого проводника, а направление совпадает с направлением силы тока - .

Закон Био - Савара - Лапласа в векторной форме формулируется следующим образом.

Вектор магнитной индукции, созданный элементом тока, пропорционален векторному произведению элемента тока на радиус-вектор, проведенный от элемента в точку наблюдения, и обратно пропорционален кубу расстояния от элемента тока до точки наблюдения (рис. 2.11)

Направление вектора определяется по правилу векторного произведения двух векторов и , т. е.  перпендикулярен плоскости, в которой лежат перемножаемые вектора, и направлен по правилу правого винта.

Рис.2.11

На рис. 2.11 показана линия магнитной индукции. По касательной к этой линии направлен вектор . Модуль вектора определяется по закону Био - Савара - Лапласа в скалярной форме

где α - угол между векторами и .

Для напряженности магнитного поля можно записать аналогичные формулы

Изолированный элемент с током создать невозможно. Ток, который создает магнитное поле, всегда течет по проводникам конечных размеров. Поэтому далее надо применять принцип суперпозиции и векторно суммировать (интегрировать) или , созданные всеми элементами тока ,

2.3.4. Магнитное поле в центре кругового тока

С помощью закона Био - Савара - Лапласа и принципа суперпозиции найдем напряженность магнитного поля в центре витка с током I радиуса R (рис. 2.12) (виток перпендикулярен чертежу).

Рис.2.12

В этом случае все элементы проводника перпендикулярны радиусу и , т. е. . Расстояние всех элементов провода до центра одинаково и r = R. Поэтому формула (2.37) примет следующий вид

.

Применим принцип суперпозиции.

Все элементы тока создают магнитное поле одинакового направления, перпендикулярно плоскости витка, поэтому от векторного интегрирования можно перейти к скалярному

,

где   - длина окружности.

Окончательно получим формулу для вычисления напряженности магнитного поля в центре кругового тока

Магнитная индукция равна

Напомним, что для вакуума μ = 1.

Направление векторов и нужно находить по правилу правого винта (рис. 2.12) с учетом того, что и .

2.3.5. Магнитное поле прямого тока

Применяя закон Био - Савара - Лапласа и принцип суперпозиции, можно найти напряженность магнитного поля прямого тока. Запишем без вывода конечный результат для проводника конечной длины (рис. 2.13).

Рис.2.13

Введем следующие обозначения: I - сила тока в проводнике, b - кратчайшее расстояние от точки наблюдения до проводника, α₁ и α₂  - углы между отрезком проводника и линией, соединяющей концы отрезка с точкой наблюдения.

Напряженность магнитного поля, созданного конечным прямым проводником с током, равна

Направление вектора определяется по правилу правого винта. Вектор, направленный за чертеж, изображается крестиком . Вектор, направленный к нам - точкой . Линия напряженности представляет собой окружность.

Для бесконечно длинного проводника   и  .   Напряженность магнитного поля равна

Модуль вектора магнитной индукции, соответственно, равен