3.1. Колебания
3.1.1. Характеристики колебательного процесса
Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени. Колебательное движение - одно из самых распространенных движений в природе и технике. Колеблются деревья в лесу, струны музыкальных инструментов, вагоны на стыках рельсов, в природе наблюдаются приливы и отливы, возникают землетрясения, колеблются атомы в кристаллической решетке и т. д. Физическая природа колебаний может быть различной. Например, качание маятника в часах - это механические колебания, колебания напряжения в сети переменного тока - это электрические колебания. Однако, различные колебательные процессы описываются одинаковыми уравнениями и имеют одинаковые характеристики. Характеристиками колебательного процесса являются: T - период, ν - частота, ω - круговая частота, A - амплитуда, φ - фаза.
Периодом T называется время одного полного колебания.
Частотой ν называется число колебаний в единицу времени.
Связь между частотой и периодом дается формулой
В системе СИ период измеряется в секундах,
а частота в герцах,
.
Круговой или циклической частотой называется число колебаний за промежуток времени 2π секунд. Связь между круговой частотой ω и частотой ν выражается формулой
Связь ω с периодом T дается уравнением
Амплитудой называется наибольшее отклонение (смещение) колеблющейся величины от положения равновесия.
Фазой называется величина, определяющая отклонение (смещение) колеблющейся величины в данный момент времени
где α - начальная фаза.
Частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания.
3.1.2. Уравнение гармонических колебаний
В природе и технике существует множество самых разнообразных колебаний. Простейшими колебаниями являются гармонические колебания.
Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.
Уравнение гармонических колебаний имеет вид
или
где x - смещение колеблющейся величины от положения равновесия.
Уравнение гармонических колебаний, описываемое формулой (3.5) или (3.6), является решением так называемого дифференциального уравнения гармонических колебаний.
На рис. 3.1 представлен график зависимости смещения от времени для гармонических колебаний (уравнение (3.5)). На нем показаны амплитуда A и T период .
Рис.3.1
3.1.3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
Составим дифференциальное уравнение гармонических колебаний на примере пружинного маятника (рис. 3.2) ( m - масса маятника, k - коэффициент упругости пружины). Сила, действующая на тело, закрепленное на пружине, находится по закону Гука (см. (1.20)). Эта сила направлена против смещения
где k - коэффициент упругости, x - смещение тела от положения равновесия.
Рис.3.2
Уравнением движения тела будет II закон Ньютона (1.22)
,
где
-
результирующая сила равна силе
упругости;
-
ускорение тела (см. формулу (1.8));
-
скорость тела (см. формулу (1.5)).
Производная по времени обозначается точкой сверху.
Тогда ускорение тела равно второй производной от координаты по времени
.
Подставим выражения для силы упругости и для ускорения в формулу II-го закона Ньютона и получим
.
Преобразуем это уравнение
Введем обозначение
где
-
частота собственных незатухающих
колебаний.
Собственными колебаниями называются колебания, которые совершает система, выведенная из положения равновесия и предоставленная самой себе. Собственные колебания бывают незатухающими и затухающими. В нашем примере мы рассматриваем незатухающие колебания. С учетом обозначений получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний:
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет такой же вид для любых других величин, изменяющихся по гармоническому закону.
С точки зрения математики уравнение (3.8) представляет собой однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение его находится, например, путем подбора функции, которая обращает дифференциальное уравнение в тождество. Решение уравнения (3.8) представляет собой уравнение гармонических колебаний
или
