5.6. Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц

Двойственная корпускулярно-волновая природа характерна не только для фотонов, но и для любых движущихся частиц. К такому выводу пришел французский физик Луи де Бройль в 1924 г. Он предположил, что соотношение (5.6) имеет универсальный характер и справедливо для любых волновых процессов, связанных с частицами, обладающими импульсом p.

Длина волны де Бройля - длина волны, которой обладает движущаяся частица, вычисляется по формуле

где h - постоянная Планка, p - импульс частицы.

Если скорость движущейся частицы много меньше скорости света в вакууме (v << c), то импульс равен (см. (1.21))

,

где m - масса частицы.

Если скорость частицы соизмерима со скоростью света в вакууме , то импульс вычисляется по формулам теории относительности

,

где m₀  - масса покоя частицы.

Волновые свойства электронов впервые были обнаружены в опытах по наблюдению дифракционной картины при рассеянии их на кристаллах, которые служили естественной дифракционной решеткой. Дифракционные явления наблюдались также для нейтронов, протонов и других микрочастиц.

 

5.7. Статистическая трактовка волн де Бройля

Опыты показали, что частицы ведут себя как волны, а волны - как частицы. Но волну можно разделить на части, а частицы неделимы. В таком случае волновые свойства частиц можно трактовать только статистически. Частицы остаются частицами, но вероятность их появления в различных точках пространства подчиняется волновым законам.

Волны де Бройля - это волны вероятности. Волны вероятности описываются волновой функцией Ψ (пси-функция). Статистическую трактовку волн де Бройля дал выдающийся немецкий физик Макс Борн.

Квадрат модуля волновой функции характеризует вероятность нахождения частицы в данном единичном объеме, т. е.

где  - плотность вероятности.

Чтобы рассчитать поведение частицы, нужно знать значение волны вероятности, т. е. Ψ -функции, во всей интересующей нас области пространства. Вероятность dw нахождения частицы в объеме dV равна

Вид волновой функции находится из решения уравнения Шредингера.

 

5.8. Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера лежит в основе квантовой механики. Оно, как и уравнение Ньютона, не выводится, а является обобщением опытных фактов. Его справедливость доказывается совпадением результатов, полученных из его решения и экспериментов. Уравнение Шредингера для стационарных состояний, т. е. для состояний с фиксированными значениями энергии, имеет вид

где    - сумма вторых частных производных от волновой функции по координатам;       m_e  - масса частицы;           - постоянная Планка;      E - полная энергия частицы;      U - потенциальная энергия частицы.

Из решения уравнения Шредингера для конкретного случая находят вид волновой функции Ψ, квадрат ее модуля |Ψ|² и вероятность обнаружения частицы.

 

5.9. Атом водорода по теории Шредингера

Уравнение Шредингера позволяет решить вопрос о строении водородоподобного атома, т. е. атома, который состоит из положительно заряженного ядра с зарядом +Ze и одного электрона. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, согласно формуле (2.14), равна:

где Z - порядковый номер элемента в таблице Менделеева (для атома водорода = 1);     e - заряд электрона;     r - расстояние между электроном и ядром:  (см. формулу (1.1));       - электрическая постоянная.

Если подставить (5.17) в уравнение Шредингера (5.16), то окажется, что это уравнение имеет решение не при всех отрицательных значениях электрона E, а только таких, которые удовлетворяют условию:

где n = 1, 2, 3, ... - целое число.

Заметим, что формула (5.18) совпадает с формулой (5.11), полученной в теории Бора.

Из формулы (5.18) следует, что энергия электрона в атоме квантуется.

Найденная при этих значениях энергии волновая функция Ψ зависит от трех квантовых чисел:

n - главное квантовое число, n = 1, 2, 3, ...; l - орбитальное квантовое число, l = 1, 2, 3, ..., (n -1); m_L - магнитное квантовое число, m_L = -l , -l +1, ..., 0, ..., (l -1), l .

Волновая функция определяет состояние электрона в атоме, а квадрат ее модуля - вероятность обнаружения электрона в единице объема (см. (5.14)).

Вероятность обнаружения электрона в различных частях атома различна. Электрон при своем движении как бы "размазан" по всему объему, образуя электронное облако. Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число m_L характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.

В квантовой физике, по аналогии с спектроскопией, состояние электрона, характеризующееся квантовым числом l = 0, называется S - состоянием, l = 1 - p - состоянием, l = 2 - d - состоянием и т. д. Для обозначения различных состояний электрона в атоме используют следующие обозначения: значения главного квантового числа указывают перед условным обозначением орбитального квантового числа. Например, электроны в состояниях n = 1, l = 0 обозначаются 1S, при n = 2, l = 1 обозначаются 2p и т. д.

Квантовые числа позволяют компактно описать закономерности в спектре испускания (поглощения) атома водорода.