1. Понятие функции. Способы задания и свойства функции

Понятие функции является одним из основных понятий математического анализа.

Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.

Пусть даны два числовых множества Х и У.

Определение 1. Соответствие f, которое каждому числу х сопоставляет единственное число у , называется числовой функцией и записывается y = f ( x ),

где х - называют независимой переменной или аргументом, а у – зависимой переменной или функцией от х.

Примеры.

1.Каждой величине затраченных ресурсов соответствует определенный объем производства (производственная функция)

2.Каждому показателю рентабельности соответствует определенная величина прибыли.

3. Каждому значению радиуса окружности соответствует ее длина и площадь круга.

Здесь каждому числовому значению одной величины сопоставляется определенное числовое значение другой.

Определение 2. Множество всех значений независимой переменной Х, называется областью определения функции, обозначается D, а множество всех значений, принимаемых функцией у называется областью изменения функции, обозначается Е.

Т.о. для того чтобы функция была определена, надо знать:

а) область определения; б) закон соответствия.

Пример

Область определения [0;4]. Область значений [0;2].

2. Способы задания функции

Закон, по которому задается функция, можно задавать тремя способами.

а) Табличный. Функция может быть задана в виде таблицы.

Например, пусть температуру Т воздуха измеряют через каждый час. Тогда каждому моменту времени t= 0,l,...,24 соответствует определенное число Т

Таблица 1

t	0	1	2	……	24
Т	Т0	Т1	Т2	…	Т24

Таким образом, получена функция , определённая на множестве целых чисел от 0 до 24, заданная таблицей.

Например, таблице

X	-1	0	1
y	-1	0	1

соответствует и функции и .

б) Графический. Графиком функции называется множество точек М(х,у) плоскости , для каждой из которых х является значением аргумента, а у – соответствующим значением функции.

Преимуществом графического задания явл-ся его наглядность.

Часто приборы вычерчивают график зависимости одной величины от другой (чаще всего от времени).

в) Аналитический способ: функция задается с помощью одной или нескольких формул или уравнений.

Например: 1. S=ПR² 2. у² - 4х = 0

Это самый универсальный способ задания функции, из которого можно получить и таблицу и график.

3. Основные свойства функций

Определение 1. Функция называется четной, если

Геометрически четность функции означает, что ее график симметричен относительно оси ординат ОУ.

Определение 2. Функция у = f(x) называется нечетной, если

График нечетной функции симметричен относительно начала координат

Пример. Из тригонометрии известно, что - нечетные функции (симметричны относительно начала координат), - четная функция (симметрична отн-но ОУ).

Определение 3. Функ­ция называется возрастающей на некотором интер­вале |a,b|, если для любых двух значений аргумента, взятых на этом интервале, большему значению аргумента соответствует большее значение функции (рис.)

-усл. возрастания;

Определение 4. Функция f(x) называется убывающей, если

большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (рис.). - условие убывания.

Определение 5. Интервал, на котором функция возрастает или убывает, называется интервалом монотонности этой функции, а про функцию говорят, что она монотонна на этом интервале.

Пример. (рис.). Интервалы монотонности: на функция убывает; на функция возрастает.

Определение 6. Функцию , определенную на множестве D называют ограниченной, если существует такое число , что для всех значений D выполняется неравенство

Геометрически это условие означает, что все точки графика функции лежат в горизонтальной полосе между прямыми и (рис)

Так, например, ограниченная функция, так как при всех .

Определение 7. Число называется периодом функции f(x) с областью определения D, если

Определение 8. Функция f(x), обладающая периодом, называется периодической. Условие предполагает, конечно, что наряду с любым и .

Если число l – период функции f(x), то и любое целое, кратное l, т.е. число kl, где будет периодом f(x).

В дальнейшем название периода функции будем применять к наименьшему положительному периоду.

Пример. Из тригонометрии известно, что периоды функции и равны , а периоды равны .

4.Основные элементарные функции и их графики

1. Степенная функция у = хⁿ , n R (множество действительных чисел)

2) Показательная функция у = а^х , а ˃0, а ≠ 1

3) Логарифмическая функция а ˃0, а ≠ 1

4)Тригонометрические функции

5)Обратные тригонометрические функции

5. Предел функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.

Определение 1. Число А называется пределом функции при , если для любого найдётся такое ˃0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Записывают