Нахождение определенного интеграла по частям

Теорема. Пусть функции и непрерывно дифференцируемы на отрезке , тогда верно равенство

(3)

Пример 3.

Приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур

Для нахождения площадей плоских фигур, ограниченных линиями, уравнения которых заданы в прямоугольных декартовых и полярных системах координат могут быть применены формулы соответственно

(4)

(5)

(6)

Вычисление длины дуги кривой

Для вычисления длины дуги плоской кривой, заданной различными уравнениями, применяются формулы:

(7)

(8)

(9)

Вычисление объемов тел

Объем тела вычисляется по формуле:

(10)

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , прямыми и осью (рис. 1.)

В начале надо построить фигуру, ограниченную данными линиями. Искомая площадь , поэтому

В более общем случае, когда данная фигура ограничена двумя кривыми и двумя вертикальными прямыми причем имеем (рис. 2)

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой и Находим точки пересечения данных кривых и строим искомую фигуру (рис. 3):

Решая последнюю систему, получаем: .

Следовательно, согласно формуле (4), имеем:

Если кривая , ограничивающая криволинейную трапецию (рис. 4), задана параметрическими уравнениями , то площадь криволинейной трапеции

, (11)

где и определяются из уравнений и (

Рисунок 1 Рисунок 2

Пример 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Запишем параметрические уравнения эллипса: С учетом свойств симметрии фигуры и формулы (11) получаем (рис. 5):

Рисунок 3 Рисунок 4

Рисунок 5 Рисунок 6

В случае, когда непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением площадь криволинейного сектора (рис.6), ограниченного другой кривой и двумя полярными радиусами и , соответствующими значениям и полярного угла, выражается интегралом

(12)

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли .

Запишем уравнение данной кривой в полярных координатах. Для этого заменим

Получим или .

С учетом симметрии фигуры искомая площадь может быть вычислена по формуле (12)

Пример 8. Вычислить длину дуги кривой , абсциссы концов которой и .

Согласно формуле (7) имеем:

Пример 9. Вычислить длину одной арки циклоиды

Поскольку все арки циклоиды одинаковы, рассмотрим первую ее арку, вдоль которой параметр изменяется от до .

Тогда, согласно формуле (8), имеем:

Пример 10. Вычислить длину первого витка логарифмической спирали

Из формулы (9) следует, что