Лекция 9. Приложения производной. Производные и дифференциалы высших порядков. Исследование функций

1. Приложения производной.

Уравнение касательной имеет вид:

или

Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.

Уравнение нормали имеет вид:

Если не существует, то касательной к графику функции в точке провести нельзя (например, при ).

Теорема (необходимое условие дифференцируемости) Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке

2. Производные и дифференциалы высших порядков

Производная функции есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то её производная называется производной второго порядка и обозначается

или .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается

Производной k-го порядка функции называется производная от ее производной (k-1) порядка при условии, что эти производные существуют

или k =1,2,3,… (1)

функция f при этом называется k раз дифференцируемой.

Дифференциалом k-го порядка называется дифференциал от ее дифференциала (k-1) порядка, вычисленный в предположении, что dx остается постоянной.

(2)

Производные функций, заданных параметрически вычисляются по формулам:

,

(3)

Понятие производной можно использовать при раскрытии неопределенностей вида или с помощью правила Лопиталя.

Правило Лопиталя

Если функции φ(х) и ψ(х) бесконечно малые или бесконечно большие при х→а, дифференцируемы в окрестности точки х=а, ψ′ (х) ≠ 0 и существует конечный предел , то существует и они равны:

(4)

Пример . Найти предел по правилу Лопиталя

3. Исследование функций

Поведение дифференцируемой функции с изменением аргумента, следовательно, вид ее графика можно установить с помощью производных функции.

Функцию называют монотонной на , если для выполняется одно из условий:

1. (неубывающая),

2. (возрастающая),

3. (невозрастающая),

4. (убывающая).

Участки области определения функции, где имеют место эти неравенства, называются интервалами монотонности функции. Границами этих интервалов служат так называемые точки локального экстремума (минимума, максимума) функции и точки разрыва функции.

Теорема 1. Если для дифференцируемой функции , то функция соответственно возрастает, убывает, постоянна на (а, b).

Точку называют точкой локального минимума или максимума функции f (x), если существует любая окрестность U( ) этой точки, где соответственно или .

Число будем называть соответственно локальным минимумом или локальным максимумом, а вместе локальным экстремумом функции .

Теорема 2. (Ферма). Если функция имеет производную в точке х и достигает в этой точке локального экстремума, то

.

(5)

Равенство (1) - необходимое условие существования локальных экстремумов. Корни этого уравнения называют точками стационарности функции (в бесконечно малой окрестности их функция "постоянна").

Точки, где производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками функции. Функция может иметь локальные экстремумы только в критических точках.

Теорема 3. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то является точкой локального экстремума функции , а именно:

локального минимума, если меняет знак с "-" на "+";

локального максимума, если - с "+" на "-".

В точке локального экстремума нет, если при переходе через нее производная не меняет знака.

Теорема 4. Если в точке стационарности функция имеет не равную нулю вторую производную, то является точкой локального экстремума функции f (x),

причем локального минимума, если f" ( ) > 0

локального максимума, если f" ( ) < 0.

На теоремах 3 и 4 основаны правила (I и II) нахождения локальных экстремумов функции.

Кривую называют выпуклой в точке , если существует некоторая окрестность этой точки, где касательная расположена выше кривой (ось ординат Оу направлена вертикально вверх) и вогнутой - в противном случае.

Теорема 5. Если функция f (x) в точке имеет не равную нулю вторую производную, то

при f” ( ) < 0 кривая выпукла в точке ,

а при f” ( ) > 0 - вогнута.

Следствие. Если функция f (x) дважды дифференцируема на (а,b), то промежутки, где f (x) сохраняет знак, есть интервалы выпуклости или вогнутости графика функции.

Точка х₀ называется точкой перегиба графика функции , если - окрестность точки х₀ такая, что в её левой и правой половине график функции имеет разные направления выпуклости.

Границами интервалов выпуклости и вогнутости кривой служат точки перегиба кривой, где кривая и касательная к ней пересекаются. Существует окрестность точки перегиба, где кривая расположена по обе стороны от касательной к ней.

При переходе через точку перегиба вторая производная функции меняет знак.