Задания

Лекция 13. Определённый интеграл и его приложения. Несобственные интегралы

Криволинейной трапецией называется область на плоскости , ограниченная осью , прямыми , , где и графиком непрерывной на функции .

Для простоты считаем, что , т.е. трапеция расположена выше оси . Приближенно площадь криволинейной трапеции можно найти, заменив ее суммой площадей прямоугольников с малыми основаниями и высотами, равными значениям функции в некоторых выбранных точках.

Error: Reference source not foundРазбиением отрезка на частей называется набор чисел из этого отрезка, где и .

В каждом отрезке (элементарном участке) разбиения выберем некоторую точку , где

Такое разбиение будем обозначать буквой , а длину элементарного участка через . Пусть на отрезке определена некоторая функция .

Интегральной суммой для функции , построенной по разбиению отрезка , называется сумма произведений значений функции в выбранных точках на длины элементарных участков.

.

Если , то интегральная сумма равна площади ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников с основаниями и высотами , т.е. приближенно равна площади соответствующей криволинейной трапеции.

Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм этой функции по разбиениям , у которых максимальный стремится к нулю, т.е.

.

Если на , то этот интеграл выражает точную площадь соответствующей криволинейной трапеции.

Свойства определенного интеграла

В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые функции интегрируемы.

1) , - постоянная.

2) Если на отрезке , то .

3) Если на отрезке функция ограничена снизу и сверху числами и , т.е. если на , то

4) Теорема о среднем. Пусть функция непрерывна на отрезке ,тогда на этом отрезке найдется такая точка , что

Это значение называется средним значением функции на .

5) Оценка модуля определенного интеграла

6) Если выполняется неравенство , то

7) Если , то интегралом называется число .

8) Интеграл считается равным нулю.

Формула Ньютона – Лейбница

Теорема. Пусть функция непрерывна в отрезке и функция есть ее первообразная на этом отрезке, тогда

.

Часто разность здесь записывают в сокращенном виде:

(1)

Пример 1.

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция монотонна и непрерывно дифференцируема на отрезке , где , , тогда

. (2)

Пример 2

Вычислим интеграл с помощью замены переменной :

Этот интеграл выражает площадь четверти круга радиуса 1 с центром в начале координат, лежащей в первом квадранте.