Лекция 14 Дифференциальные уравнения. (Дифференциальные уравнения. Общие понятия и определения. Задача Коши. Уравнения с разделенными переменными. Уравнения с разделяющимися переменными)

Определение. Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные называются дифференциальными (термин принадлежит Лейбницу).

Определение. Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Определение. Если искомая функция у является функцией одного аргумента х, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Определение. Если же искомая функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

Определение. Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ - интегральной кривой.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

Уравнение связывает независимую переменную^,искомую функцию и её производную y'.

Определение. Если это уравнение можно разрешить относительно y', то его записывают в виде: y' =(,)

и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной.

Определение. Условие, что при = функция должна быть равна заданному числу _,т.е. = называется начальным условием и записывается в виде: ( ) =или |

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция ,

которая содержит одну произвольную постоянную и удовлетворяет условиям:

а) Функция (_,) является решением ДУ при каждом фиксированном значении_;

б) каково бы ни было начальное условие = при = , можно найти такое значение , что удовлетворяет данному начальному условию.

Определение. Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция , полученная из общего решения , при определенном значении произвольной постоянной .

Определение. Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т.е. в виде уравнения , то такое решение называется общим интегралом уравнения.

Определение. Уравнение в этом случае называется частным интегралом уравнения.

С геометрической точки зрения есть семейство интегральных кривых на плоскости О; частное решение - одна кривая из этого семейства, проходящая через точку (^;).

Определение. Задача о нахождении частного решения ДУ первого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию называется задачей Коши. Впервые подобную задачу ставил и решил французский математик О.Коши (1789-1857).

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении y' = ( , ) функция ( , ) и её частная производная по y непрерывны в некоторой области D на плоскости , содержащей некоторую точку (, ), то существует единственное решение = () этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию = при =.