Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое определитель второго порядка, третьего порядка, n-го порядка?

2. Основные свойства определителей.

3. Правило треугольников (Саррюса).

4. Методы вычисления определителей второго, третьего, n-го порядка.

5. Определение матрицы.

6. Какие бывают матрицы?

7.Определение квадратной, диагональной, единичной, нижне-, верхнетреугольной матриц.

8.Определение вырожденной, невырожденной, транспонированной, присоединенной матриц.

9. Определение минора матрицы.

10. Определение алгебраического дополнения.

11. Определение ранга матрицы. Теорема Кронекера – Капелли.

12.В чем отличие матрицы от определителя?

13. Укажите действия над матрицами.

14.В каком случае возможно умножение двух матриц?

15.Определение системы линейных алгебраических уравнений (С.Л.А.У.).

16.Какая система линейных уравнений называется совместной, несовместной?

17.Какая система линейных уравнений называется определенной, неопределенной?

18. Определение расширенной матрицы С.Л.А.У.

19. Определение однородной, неоднородной системы.

18. Решение С.Л.А.У. по правилу Крамера.

19. Метод обратной матрицы.

20. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

21. Что значит исследовать систему?

Лекция 4. Векторы

(Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства. Евклидово пространство. Системы линейно зависимых и независимых векторов. Базис. Разложение вектора по базису)

Пространство, точки которого представляются тройками действительных чисел, называется трехмерным пространством.

Вектором называется направленный отрезок. Величину, характеризующуюся только числовым значением, называют скалярной величиной или скаляром.

А В a b c

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается ō. Его направление является неопределенным.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.

А В a b

C D AB =CD, a = b.

К линейным операциям над векторами относятся: умножение вектора на число и сложение векторов.

Произведением вектора a и числа α называется вектор, обозначаемый α∙a. (или a∙α), модуль которого равен |α a| =|α||a|, а направление совпадает с направлением вектора a, если α>0, и противоположно ему, если α< 0.

Суммой векторов a_і (і=1÷n) называется вектор, обозначаемый

a₁+a₂+...+ a_n=∑ⁿ_i=1 a_i , начало которого находится в начале первого вектора a₁, а конец – в конце последнего вектора a_n, ломаной линии, составленной из последовательности слагаемых векторов (рисунок 1).

a₃ a₄

a₂ a₅ a+b

a

a₁

b

∑ a_і

Рисунок 1 Рисунок 2

Это правило сложения называется правилом замыкания ломаной. В случае суммы двух векторов, направленных из одной точки, оно равносильно правилу параллелограмма (рисунок 2).

Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Длина вектора. Угол между векторами. Декартова система координат

Прямая е с заданным на ней направлением, принимаемым за положительное, называется осью е.

Проекцией вектора a на ось е называется число, обозначаемое

пр_е a = |a| cosφ, где φ (0 ≤ φ ≤ π) – угол между положительным направлением оси е и направлением вектора a.

Координатами вектора a называются его проекции на оси координат Ox, Oy, Oz. Они обозначаются соответственно буквами x, y, z. a =(x, y, z).

Проекцию вектора на ось или число называют его координатой; , если угол острый (0    90, ось и вектор направлены в одну сторону), , если угол  тупой (90<   180, ось и вектор направлены в противоположные стороны). При  = 90 (L0x) .

Рассматриваемый в указанных пространствах вектор может иметь соответственно две или три координаты. Заданный своими координатами вектор и точка записываются в виде соответственно столбцевой и строчной матриц, например, в :

.

Поэтому все положения матричного исчисления распространяются и на векторы. Если вектор задан координатами своих концов, то

.

Вектор полностью и однозначно определяется своими координатами:

.

(1)

Кроме того, направление вектора обозначают с помощью его, так называемого, единичного вектора, например,

.

Направление оси можно указывать с помощью единичного вектора.

Единичные векторы координатных осей обозначают через и называют базисными векторами; . Они попарно перпендикулярны. Их совокупность называют декартовым базисом.

Любой вектор в может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:

(2)

Если для системы n векторов a_і равенство ∑ λ_і a_і = 0 верно только в случае, когда λ_і = 0, то эта система называется линейно независимой.

Если же это равенство выполняется для λ_і, хотя бы одно из которых отлично от нуля, то система векторов a_і называется линейно зависимой. Например, любые коллинеарные векторы, три компланарных вектора, четыре и более векторов в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы.

Три упорядоченных линейно независимых вектора ē₁, ē₂, ē₃ в пространстве называется базисом. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов всегда образует базис.

Любой вектор a в пространстве можно разложить по базису ē₁, ē₂, ē₃,

т. е. представить a в виде линейной комбинации базисных векторов:

a =x ē₁+y ē₂+z ē₃,

где x,y,z являются координатами вектора a в базисе ē₁,ē₂,ē₃.

Базис называется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Обозначают такой базис i, j, k, т. е. i (1, 0, 0), j(0, 1, 0), k(0, 0, 1).

Если вектор , в базисе , то

Направление вектора определяется углами , образованными им с осями координат Ox, Oy, Oz.

Направляющими косинусами ненулевого вектора называются косинусы углов, образованных этим вектором с осями координат (см. рисунок 3).

Рисунок 3.

Для вектора с координатами направляющие косинусы записываются в виде:

; ; (3)

Пример 1. Если то

Направляющие косинусы вектора обладают следующим свойством:

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в точке О взаимно-перпендикулярных осей – оси абсцисс (Оx), оси ординат (Оy), оси аппликат (Оz), точка О - начало координат.

Отношением, в котором точка М делит отрезок М₁М₂, называется число , удовлетворяющее равенству .

Связь между координатами делящей точки М(x, y, z), точек М₁(x_1, y_1, z₁), М₂(x_2, y_2, z₂) и числом задается равенствами:

Деление отрезка М₁ М₂ будет внутренним, если , и внешним, если . При точка М будет серединой отрезка М₁ М₂ , .

Пример 2. Даны векторы a,b,c. Изобразить на рисунке их линейную комбинацию –2а +

Решение: выбираем на плоскости произвольную точку О и откладываем от нее вектор –2а . Затем от конца вектора –2а откладываем вектор b и, наконец, строим вектор 4с, выходящий из конца вектора . Искомая линейная комбинация изображается вектором, замыкающим полученную ломаную, начало которого находится в точке О (рисунок 4).

a

c -2a 4c

b

0 -2a+

Рисунок 4

Пример 3. Векторы заданы в ортонормированном базисе i, j, k координатами: а = (2,-1,8 ), е₁ = (1,2,3), е₂ = (1,-1,-2), е₃ = (1,-6,0).

Убедиться, что тройка е₁,е₂,е₃ образует базис, и найти координаты вектора а в этом базисе.

Решение: если определитель , составленный из координат векторов е₁,е₂,е₃, не равен 0, то векторы е₁,е₂,е₃ линейно независимы и, следовательно, образуют базис.

Убеждаемся = -18-4+3-12=-31 Таким образом, тройка е₁, е₂, е₃ - базис.

Обозначим координаты вектора а в базисе е₁, е₂, е₃ через x, y, z.

Тогда а = (x, y, z) = хе₁ + yе₂ + zе₃.

Так как по условию а = 2i – j +8k , е₁ = i +2j +3k , е₂ = i – j -2k, е₃ = i – 6j ,

то из равенства а = хе₁ + yе₂ + zе₃ следует, что

2i – j +8k = xi + 2xj + 3xk + yi – yj -2yk +zi -6zj =(x+y+z)i +(2x-y-6z)j +(3x-2y)k

Вектор в левой части полученного равенства равен вектору в правой его части, а это возможно только в случае равенства их соответствующих координат. Отсюда получаем систему для нахождения неизвестных x, y, z :

Ее решение: x = 2, y = -1, z = 1. Итак, а = 2е₁ – е₂ + е₃ = (2,-1,1).