§4 Сходимость положительных рядов

Это ряды, члены которых неотрицательны

, ,

Тогда т.е. – возрастающая последовательность.

По теореме о пределе монотонной последовательности следует:

Утверждение. Положительный ряд всегда имеет сумму. Эта сумма будет конечной (следовательно, ряд будет сходиться), если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечной (а ряд расходиться) в противном случае.

(Все признаки сходимости положительных рядов основаны на этой теореме).

§5 Теоремы сравнения рядов.

Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся.

Теорема 1 (первая теорема сравнения). Пусть даны два положительных ряда (А),

(В)

Если, хотя бы начиная с некоторого номера выполняется , то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда (А) или из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

Теорема 2 (вторая теорема сравнения).

Если существует , то из сходимости ряда (В) при вытекает сходимость ряда (А), из расходимости ряда (В) при вытекает расходимость ряда (А).

Таким образом, при оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

§6 Достаточные признаки сходимости положительных рядов

Теорема 1 (Признак Даламбера).

Пусть дан ряд , , Тогда, если существует предел , т о 1) ряд сходится в случае

2) ряд расходится в случае

В случае ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.

Пример. <1, ряд сходится.

Теорема 2. (Признак Коши).

Рассмотрим ряд , ,

Если существует предел , то 1) в случае ряд сходится;

2) в случае ряд расходится.

В случае признак не работает, требуется дополнительное исследование.

Пример.

, ряд сходится.

Теорема 3. (Интегральный признак сходимости ряда).

Пусть члены ряда (1) положительны и не возрастают, т.е. и пусть - такая непрерывная, положительная и невозрастающая функция, что ,

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд (1).

2) если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд (1).

§6 Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница

Рассмотрим ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т.е.

, где (1)

Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряде (1) выполняются условия: 1) - условие монотонного убывания;

2) , (2)

то ряд (1) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Замечание. Теорема Лейбница справедлива, если условие монотонного убывания (2) выполняется, начиная с некоторого номера .

Пример. сходится по теореме Лейбница, так как выполнены оба условия:

1)монотонное убывание 2)