Правила дифференцирования (Производная суммы, произведения и частного)

1.

2.

3.

4.

5.

Таблица производных основных элементарных функций

Пример 2. y = х³соs2x y′=3x²сos2x – 2 х³sin2x

Пример 3. по правилу дифференцирования функций:

К правилам дифференцирования функций относятся также способы нахождения производных сложной и обратной функций, основанные на следующих теоремах.

Теорема 1. Если функция имеет производную в точке х, а функция имеет производную в соответствующей точке и, то сложная функция имеет производную в точке х, причем

.

(6)

Теорема 2. Если дифференцируемая строго возрастающая на (а,b) функция в точке имеет производную , то обратная ей функция имеет производную в соответствующей точке у, причем

(7)

Пример 4. Вычислить Запишем , где . Поэтому .

Дифференцирование неявных функций

Если зависимость между переменными х и у задана в неявном виде уравнением F(х,у)=0, то для нахождения производной в простейших случаях достаточно продифференцировать обе части уравнения F(х,у)=0, считая у функцией от х, и из полученного уравнения, линейного относительно , найти производную.

Пример.

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Производная функций, заданных параметрически вычисляется по формуле:

(10)

Пример 7.

По формуле .

, тогда .

Логарифмическое дифференцирование

Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием.

Пример 6. Найти производную функции

Логарифмируя данную функцию , получаем

Дифференцируем обе части последнего равенства по x:

Отсюда

.

Далее, Окончательно имеем:

Дифференциал функции

Дифференциалом dy функции у=f (х) называется произведение производной этой функции на дифференциал независимого переменного.

.

(8)

Это верно и для сложной функции, т.е. дифференциал функции обладает свойством инвариантности (неизменности) формы.

.

(9)

Теперь можно выражение рассматривать не только как одно из обозначений производной функции, но и как отношение дифференциалов функции и аргумента, а производную обратной функции представить в более понятной форме: .

Нахождение производной и дифференциала функции фактически представляют собой одну и ту же операцию, поэтому имеют общее название: дифференцирование.

Заметим, что производная функции не зависит от сообщаемого аргументу приращения , а дифференциал зависит от него (содержит в качестве множителя).

Пример 5. Найти дифференциал функции y = sin3x

тогда d y = dx