9) Уравнение прямой в отрезах
Пусть
прямая L
не проходит через начало координат и
пересекает оси
и
в
точках с координатами соответственно
и
,
тогда уравнение этой прямой
в отрезках
имеет вид:
(15)
Пример
8.
Приведем
уравнение прямой
к виду в отрезках:
Следовательно,
и прямая пересекает ось
в точке с этой
координатой,
она пересекает ось
в
точке с координатой
10) Нормальное уравнение прямой
(16)
Здесь
свободный член
всегда отрицателен, а
.
Чтобы из общего уравнения прямой получить нормальное уравнение, необходимо умножить его на число
(17)
где
знак
берется противоположным знаку
Пример
9.
Запишем
нормальное уравнение прямой
Умножив уравнение на
,
получим нормальное уравнение этой
прямой:
Теорема.
Расстояние
от точки
до
прямой L:
определяется формулой:
(18)
Если прямая задана своим общим уравнением, то его предварительно необходимо умножить на . Отсюда получаем следующее следствие.
Следствие.
Расстояние
от
точки
до
прямой
определяется формулой:
(19)
,
(20)
где величина δ - отклонение точки от прямой.
Пример
10.
Расстояние
от точки
до
прямой
равно:
Пример
11.
Проверить, пересекает ли отрезок MN,
где
прямую
Отклонение
точки M и L равно:
оба этих отклонения положительны, поэтому точки M и N лежат по одну сторону от L, и отрезок MN прямую L не пересекает.
Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи
Все уравнения плоскости и прямой в пространстве R3 с небольшими изменениями повторяют уравнения прямой на плоскости, с добавлением соответствующих координат.
11) Общее уравнение плоскости имеет вид:
Ax + By + Cz + D = 0, |
(21) |
где A, В, С, D = const R в пространстве xyz.
12) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:
(22)
Пример
12.
Найдем уравнение плоскости, проходящей
через точку
параллельно векторам
и
.
Подставив координаты точки и векторов
в определитель уравнения, получим:
Разложив определитель по первой строке, получим искомое уравнение:
Пример
13.
Найдем уравнение плоскости, проходящей
через точки
,
и
.
Подставив координаты точек в уравнение, получим:
Несложно
проверить, что плоскость, описываемая
этим уравнением, проходит через точки
.
Для этого достаточно подставить
координаты точек в уравнение:
13) Вектор , перпендикулярный плоскости P , называется нормальным вектором этой плоскости.
Теорема
о
нормальном векторе плоскости. Вектор
с координатами
является нормальным
для
плоскости P
с уравнением
в
пространстве
.
Пример
14.
Нормальным
вектором для плоскости
является вектор
.
Следствие 1. Косинус угла между плоскостями
с
нормальными векторами
и
находится по формуле:
(23)
Следствие 2. Эти плоскости перпендикулярны только в том случае, когда
(24)
Следствие 3. Эти плоскости параллельны только в том случае, когда
(25)
Плоскости
и
совпадают,
если
(26)
Пример
15.
Найдем
косинус
угла
между прямыми
и
Здесь
,
