Непрерывность функции двух переменных

Определение 9. Функция z= f (x, y) называется непрерывной в точке Mо(xо; yо),если она:

а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,

б) имеет предел ,

в) этот предел равен значению функции z в точке М_о, т.е.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Точки, в которых непрерывность нарушается, называются точками разрыва этой функции.

Точки разрыва z=f(x,y) могут образовывать целые линии разрыва. Так, функция имеет линию разрыва

Можно дать другое, равносильное приведенному выше определение непрерывности функции z = f (x, y) в точке. Обозначим

Величины и назы­ваются приращениями аргументов и , а - полным приращением функции z = f (x, y) в точке Mо(xо ;yо).

Определение 10. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке Mо(xо;yо)D ,если выполняется равенство т.е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов и стремится к нулю.

Свойства функции, непрерывных в ограниченной замкнутой области

Определение 11. Областью называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.

Свойство открытости: каждая точка принадлежит области вместе с некоторой окрестностью этой точки.

Свойство связности: любые две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области.

Точка Nо называется граничной точкой области D ,если она не принадлежит D, но в любой окрестности ее лежат точки этой области (рисунок 3).

Рис. 3.

Совокупность граничных точек области D называется границей D. Область D с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью, обозначается . Область называется ограниченной, если все ее точки принадлежат некоторому кругу радиуса R. В противном случае область называется неограниченной. Примером неограниченной области может служить множество точек первого координатного угла, а примером ограниченной --окрестность точки Mо(xо; yо).

Теорема. Если функция непрерывная в ограниченной замкнутой области, то она в этой области:

а) ограничена, т.е. существует такое число , что для всех точек в этой области выполняется неравенство ;

б) имеет точки, в которых принимает наименьшее и наиболь­шее значения;

в) принимает хотя бы в одной точке области любые численное значение, заключенное между и .

Частные производные

Пусть задана функция z=f(x,y). Так как и - независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной приращение , сохраняя значение неиз­менным. Тогда получит приращение по и обозначается . Аналогично получаем по :

Полное приращение функции определяется равенством :

.

Если существует предел то он называется частной производной функции z = f (x,y) в точке M(x,y) по переменной и обозначается одним из символов:

Частные производные по в точке M₀(x₀;y₀) обычно обозначаются символами: .

Аналогично определяется и обозначается частная производная от z = f(x,y) по :

.

Таким образом, частная производная функции нескольких переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому производные функции f(x,y) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно или считается постоянной величиной).

Пример3. Найти частные производные функции .

Решение.

, ,

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

Графиком функции z=f(x,y) является некоторая поверхность. График функции z=f(x,yо) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью . Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем , где -угол между осью Ох и касательной, проведенной к кривой z=f(x,y₀) в точке Mо(xо;yо). Аналогично (рисунок 4)

Рис. 4.