2. Определение тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника, основные тригонометрические тождества с выводом.

Определение 1. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Определение 2. Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Определение 3. Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

Определение 4. Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

Основные тригонометрические тождества.

1 ).

Доказательство:

2).

Доказательство:

3). Доказательство:

4)

Доказательство:

3. Задача по теме «Параллелограмм».

Билет № 9

1. Определение прямоугольного треугольника. Признаки равенства прямоугольного треугольника (доказательство всех признаков).

Определение . Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой (равен 90). Два других угла этого треугольника острые. В прямоугольном треугольнике стороны имеют свои названия. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а третья сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой.

1. Если два катета одного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны (частный случай первого признака равенства треугольников).

2 . Если катет и прилежащий острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны (частный случай второго признака равенства треугольников).

3. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

─ следствие из 2 признака равенства треугольников.

4. Если катет и противолежащий острый угол одного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны (частный случай второго признака равенства треугольников).

Доказывается аналогично предыдущей теореме ─ следствие из II признака равенства треугольников.

5. Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Д оказательство:

1. Т. к. С = С₁, то АВС можно наложить на А₁В₁С₁ так, что вершина С совместится с вершиной С₁, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи СА₁ и СВ₁.

2. Т. к. СА = С₁А₁, то вершина А совместится с вершиной А₁. Остается доказать, что совместятся точки В и В₁.

3. Предположим, что точки В и В₁ не совместятся. Рассмотрим Δ А₁В₁В₂ – равнобедренный, так как АВ = A₁B₁  А₁В₂ = A₁B₁. Тогда A₁B₁В₂ = A₁В₂B₁. Заметим, что A₁B₁С₁ - острый угол прямоугольного треугольника А₁В₁С₁, а A₁B₁В₂, смежный с ним, - тупой. Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, то это невозможно. Значит, точки В и В₁ совместятся.