5) По принципу равносоставленности

Значение теоремы Пифагора. Это одна из главных теорем геометрии. С ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство:

1). Пусть в треугольнике АВС АВ² = АС² + ВС². Докажем, что угол С – прямой.

2). Рассмотрим прямоугольный треугольник А₁В₁С₁ с прямым углом С₁, у которого А₁С₁ = АС, В₁С₁ = ВС.

3). В треугольнике А₁В₁С₁ по теореме Пифагора (А₁В₁)² = (А₁С₁)² + (В₁С₁)². Следовательно (А₁В₁)² = АС² + ВС².

4). Докажем равенство сторон ав и а1в1.

5). Докажем равенство треугольников  авс и  а1в1с1.

6). Таким образом, треугольник авс – прямоугольный с прямым углом с.

На основании доказанной теоремы можно по известным длинам сторон треугольника определять вид треугольника в зависимости от величин его углов.

1. Если АВ² = АС² + ВС², то треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С.

2. Если АВ² > АС² + ВС², то треугольник АВС тупоугольный с тупым углом С.

3. Если АВ² < АС² + ВС², причем АВ – наибольшая из сторон треугольника АВС, то треугольник АВС остроугольный, а угол С – самый большой в треугольнике.

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольникам. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называется египетским.

2.Доказательство теоремы о градусной мере угла между хордой и касательной, проведенной через ее конец. Построение касательной к окружности, проходящей через данную точку, не лежащую на окружности.

Теорема о градусной мере угла, образованного касательной и хордой, проведенной через точку касания. Угол, образованный касательной и хордой, проведенной через точку касания, имеет градусную меру, равную половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами этого угла.

Д оказать:

Доказательство:

Проведем диаметр АС и рассмотрим  CАB. По свойству радиуса, проведенного в точку касания, DAC = 90 .

Теоремы о градусной мере углов, связанных с окружностью:

1. Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, из которых одна заключена между его сторонами, а другая - между продолжениями сторон.

2. Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.

Построение касательной к окружности. Касательную из точки а к окружности можно провести следующим образом:

1. На отрезке ОА как на диаметре строят окружность радиуса R=0,5[OA];

2. Точки 1 и 2 пересечения полученной окружности с заданной определяют положение точек касания;

3. Отрезки [1A] и [2A]  определяют положение касательных t1 и t2 проведенных из точки А к окружности.