2. Построение прямой, параллельной данной. Построение касательной, проходящей через данную точку, не лежащую на данной окружности.

Даны прямая и точка вне неё. Как с помощью циркуля и линейки построить прямую, параллельную данной прямой и проходящую через данную точку.

Решение

Дана прямая а и точка О (обозначения). Отметим на прямой две произвольные точки А и В. Проведём окружность с центром в точке В радиуса АО, и окружность с центром в точке О радиуса АВ. Они пересекутся в точке X. Четырёхугольник АОХВ — параллелограмм, так как его противолежащие стороны равны. Теперь можно провести искомую прямую — ОХ.

Рис. 1

Излагая это же решение другими словами, можно сказать, что мы стандартным способом построили треугольник BOX по двум вершинам (В и О) и длинам двух сторон, равных длинам отрезков АО и АВ. Очевидно, что ΔАВО = ΔХОВ (по трём сторонам). Поэтому  АВО =  XOB, а это внутренние накрестлежащие углы для прямых а и ОХ и секущей ВО. Из равенства этих углов следует, что а и ОХ параллельны. Построение касательной к окружности. Касательную из точки А к окружности можно провести следующим образом:

1. На отрезке ОА как на диаметре строят окружность радиуса R=0,5[OA];

2. Точки 1 и 2 пересечения полученной окружности с заданной определяют положение точек касания;

3. Отрезки [1a] и [2a] определяют положение касательных t1 и t2 проведенных из точки а к окружности.

3.Задача по теме « Подобие».

Билет № 23

1. Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по одному равному углу. Вывод формул площадей треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

Т еорема об отношении площадей треугольников. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы:

Доказательство:

1. Наложим ∆ А₂В₂С₂ на ∆ А₁В₁С₁ так, чтобы совпали равные углы А₁ = А₂ .

2. ∆ А1в1с2 и ∆ а1в1с1 имеют общую высоту в1н, следовательно

3. ∆ А1в2с2 и ∆ а1в1с2 имеют общую высоту с2к, следовательно

4. Найдем отношение площадей ∆ а1в1с1 и ∆ а2в2с2

Доказать формулу площади треугольника, выраженную через радиус вписанной окружности.

П о свойству биссектрисы угла:

AB = c; BC = a; AC = b.

Площадь треугольника ABC:

 Площадь треугольника можно найти по формуле

,где a, b, c  – стороны треугольника, а R –  радиус описанной окружности.

      Доказательство.

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.      Следовательно,

      Поэтому

что и требовалось доказать.

2. Описанный четырехугольник. Свойство сторон описанного четырехугольника. Формула площади выпуклого четырехугольника . Частный случай, если диагонали взаимно перпендикулярны.

      Определение 1. Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая  касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1).  В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником.

Рис.1

    Теорема 1. Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

      Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

Рис.2

      В силу теоремы об отрезках касательных, проведённых к окружности из одной точки, справедливы равенства

AH = AE,       BF = BE,       CF = CG,       DH = DG,

      Складывая эти равенства, получим: AH + BF + CF + DH = AE + BE + CG +DG.

      Поскольку AH + BF + CF + DH = AD +BC,       AE + BE + CG +DG = AB + CD, то справедливо равенство

AD +BC = AB + CD, что и требовалось доказать.

      Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

      Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, длины сторон которого удовлетворяют равенству AD +BC = AB + CD, и проведём биссектрисы углов BAD и CDA. Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O, и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Рис.3

      Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAD, то справедливо равенство OH = OE,

      Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ADC, то справедливо равенство OH = OG,

      Следовательно, справедливы равенства OH = OE = OG, из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH, касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается стороны BC (рис.4).

Рис.4

      В этом случае четырёхугольник  ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC.

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B, пересекает  прямую DC в точке K, и возможны два случая:

Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

Рис.5

Точка C лежит между точками K и D (рис.6)

Рис.6

      Рассмотрим случай  2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольникABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

      Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника. Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

      Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

      Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

      Теорема доказана.

      Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

      Теорема 3. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

Утверждение . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

где  d₁  и d₂ –  диагонали четырёхугольника, а φ   – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).

Рис. 1

      Доказательство. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Частный случай, если диагонали взаимно перпендикулярны

, так как sin90⁰=1