2. Построение окружности, вписанной в треугольник и описанной около него.

Чтобы построить вписанную окружность, достаточно:

1. Построить биссектрисы любых двух углов треугольника и найти точку их пересечения – центр вписанной окружности.

2. Из полученной точки – центра вписанной окружности – опустить перпендикуляр на любую из сторон треугольника. Длина полученного отрезка – радиус вписанной окружности.

3. Полученным радиусом построить окружность из полученного центра.

Центр вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника.

Чтобы построить описанную окружность, достаточно:

1. Построить два серединных перпендикуляра к двум любым сторонам треугольника и найти точку их пересечения – центр описанной окружности.

2. Соединить полученную точку – центр описанной окружности – с любой из вершин треугольника. Длина полученного отрезка – радиус описанной окружности.

3. Полученным радиусом построить окружность.

Центр описанной окружности лежит: в остроугольном треугольнике – внутри него;

в прямоугольном треугольнике – на середине гипотенузы;

в тупоугольном треугольнике – вне окружности.

3.Задача по теме «Векторы».

Билет № 16

1. Определение подобных треугольников. Сформулировать лемму о подобии треугольников.

Сформулировать и доказать признаки подобия треугольников.

В повседневной жизни часто встречаются тела и фигуры одинаковой формы, но разных размеров. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными.

Рассмотрим подобные треугольники АВС и А₁В₁С₁. У них углы соответственно равны и называются соответственными: А = А₁; В = В₁; С = С₁. Стороны, лежащие против равных углов, называются сходственными: АВ и А₁В₁; ВС и В₁С₁; АС и А₁С₁.

Определение подобных треугольников. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Иначе:

Число k, равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия.

Лемма. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то соответствующие стороны треугольников пропорциональны.

В₁

В

А С А₁ С₁

Дано:  АВС,  А₁В₁С₁, А = А₁, В = В₁

Доказать:

Доказательство.

Так как сумма углов треугольника равна 180, то С = 180 - А - В и С₁ = 180 - А₁ - В₁  С = С₁.

А = А₁  ; С = С₁   .

Аналогично, используя равенство А = А₁, В = В₁, находим

Получили, = k – коэффициент подобия ( А₁В₁С₁   АВС).

Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство:

1). Чтобы доказать подобие треугольников, нужно доказать, что их соответственные углы попарно равны и сходственные стороны пропорциональны.

2) Докажем равенство углов С и С₁:

3). Определим площадь АВС:

4). Определим площадь А₁В₁С₁:

5). Найдем отношение площадей данных треугольников:

6). По определению треугольники подобны:

Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство:

1). Рассмотрим треугольники АВС и А₁В₁С₁, у которых Нужно доказать, что еще одна пара углов, например в этих треугольниках равная, и тогда они подобны по первому признаку подобия.

2). Построим АВ₂С А₁В₁С₁. Для этого от стороны АС АВС отложим в нижнюю полуплоскость САВ₂ = А₁ и АСВ₂ = С₁. АВ₂С А₁В₁С₁ по первому признаку подобия.

3). Из подобия АВ₂С и А₁В₁С₁ следует: По условию Тогда

4). Рассмотрим треугольники АВ₂С и АВС:

5). Получим:

Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство:

1). Рассмотрим треугольники АВС и А₁В₁С₁, у которых Нужно доказать, что одна пара углов, например в этих треугольниках равная, и тогда они подобны по второму признаку подобия.

2). Построим АВ₂С А₁В₁С₁. Для этого от стороны АС АВС отложим в нижнюю полуплоскость САВ₂ = А₁ и АСВ₂ = С₁. АВ₂С А₁В₁С₁ по первому признаку подобия.

3). Из подобия АВ₂С и А₁В₁С₁ следует: По условию Тогда

4). Из подобия АВ₂С и А₁В₁С₁ следует: По условию Тогда

5). Рассмотрим треугольники АВ₂С и АВС:

5). Получим: