3. Задача по теме «Метод координат»

Билет № 3

1. П ропорциональные отрезки в круге (доказать теоремы о пересекающихся хордах, пересекающихся секущих, секущей и касательной, проведенных из одной точки к окружности).

Теорема о пропорциональных отрезках хорд. Произведения отрезков хорд, пересекающихся внутри круга, равны.

Доказательство:

1). Докажем подобие треугольников ADM и BCM:

2). Из подобия треугольников:

Теорема 2. Квадрат отрезка касательной, проведенной из точки, лежащей вне круга, равен произведению отрезка секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство:

1). Пусть секущая АD проходит через центр окружности О. Тогда OB – радиус окружности, AB – касательная к окружности. По свойству касательной OB  AB.

2). Из  AОB (ABO = 90°) по теореме Пифагора:

3). Пусть секущая AD не проходит через центр окружности. Построим вспомогательные хорды BC и BD.

4). Рассмотрим треугольники ABC и ABD.

Теорема 3. Если из некоторой точки А проведены к окружности сколько угодно секущих, то произведение каждой секущей на ее внешнюю часть есть число, постоянное для всех секущих.

Доказательство: Проведем из точки А касательную к окружности. Тогда

Можно также доказать подобие треугольников ACC₁ и ADD₁.

2. Вывод формулы для вычисления суммы внутренних углов выпуклого многоугольника.

Определение. Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником.

Сама ломаная при этом называется границей многоугольника, звенья ломаной – сторонами многоугольника, концы звеньев – вершинами многоугольника. Две соседних стороны многоугольника образуют угол. Число углов в многоугольнике равно числу сторон. У каждого многоугольника есть углы меньше 180°. Стороны и углы многоугольника называют элементами многоугольника.

Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называется диагональю. В любом n-угольнике можно провести n-2 диагонали.

Определение. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Многоугольники, не отвечающие этому условию, называются невыпуклыми.

Свойство. Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n – 2)∙180°.

Д оказательство: Возьмем внутри выпуклого многоугольника Р произвольную точку О и соединим ее со всеми вершинами многоугольника. Образуется n треугольников, сумма углов каждого из которых равна 180°. Углы при вершине О в сумме дают 360° = 2∙180°. Поэтому сумма углов многоугольника равна n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.

3. Задача «Решение прямоугольного треугольника».

Билет № 4