3. Задача по теме «Окружность».

Билет № 24

1. Определение подобных многоугольников. Построение многоугольника, подобного данному. Теоремы об отношении периметров и площадей подобных многоугольников.

Определение подобных многоугольников. Два многоугольника называются подобными, если их углы одного из них соответственно равны углам другого, а стороны, заключающие равные углы, пропорциональны.

Иначе:

Число k, равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия.

Теорема об отношении площадей подобных многоугольников. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Доказательство:

1) Подобные многоугольники можно разложить на одинаковое число подобных и одинаково расположенных треугольников.

Для доказательства этой теоремы возьмем внутри многоугольника ABCDE произвольную точку О и соединим ее со всеми вершинами. Тогда многоугольник ABCDE разобьется на столько треугольников, сколько в нем сторон. Выберем один из них, например, AOB, и на сходственной стороне A₁B₁ другого многоугольника построим углы О₁А₁В₁ и О₁В₁А₁, соответственно равные углам ОАВ и ОВА. Точку пересечения О₁ соединим с прочими вершинами многоугольника А₁В₁С₁D₁E₁. Тогда и этот многоугольник разобьется на столько же треугольников. Докажем, что треугольники первого многоугольника соответственно подобны треугольникам второго многоугольника.

Из определения подобных многоугольников:

Из подобия треугольников АОВ и А₁О₁В₁:

Отсюда: и т. д.

2).

3).

Следствие. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты радиусов описанных окружностей или как квадраты радиусов вписанных окружностей.

Следствие: Периметры подобных многоугольников относятся как коэффициент подобия.

Построение подобных многоугольников.

Для построения многоугольника, подобного данному, мы можем поступить таким образом: разобьём данный многоугольник диагоналями, проведёнными из какой-либо его вершины, на треугольники (черт. 383). На какой-нибудь стороне данного многоугольника ABCDE, например на стороне АЕ, возьмём какую-нибудь точку E' и проведём прямую, параллельную стороне ED, до пересечения её с диагональю AD, например, в точке D'.

Из точки D' проведём прямую, параллельную стороне DC, до пересечения её с диагональю АС в точке С'. Из точки С' проведём прямую, параллельную стороне СВ, до пересечения со стороной АВ в точке В'. Полученный многоугольник AB'C'D'E' подобен данному многоугольнику ABCDE.

Если требуется построить многоугольник, подобный данному, с указанным  коэффициентом подобия, то исходная точка Е' берётся на стороне АЕ или её продолжении соответственно данному коэффициенту подобия.

2. Неравенство треугольника.

Теорема. В каждом треугольнике любая сторона меньше суммы двух других сторон, но больше их разности.

Д оказательство:

Пусть дан АВС: AB = c, BC = a, AC = b.

AC > AB > BC.

1) Докажем, что AC < AB + BC или b < a + c.

Проведем перпендикуляр BD к стороне AC. Из АВD по теореме о перпендикуляре, проекции и наклонной Аналогично из ВСD Следовательно

2) Докажем, что AC > AB – BC или b > c – a.

Достаточно заметить, что согласно первой части теоремы c < a + b  b > c – a.

Следствие 1 из неравенства треугольника. Для любых точек А, В, С, не лежащих на одной прямой, имеют место неравенства:

Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.

Следствие 2 из неравенства треугольника. Во всяком многоугольнике каждая сторона меньше суммы всех других сторон.

Доказательство:

Пусть А₁А₂А₃…A_n – некоторый n-угольник. Тогда из неравенства треугольника:

Откуда

Продолжая эти рассуждения, получим:

Следствие 3 из неравенства треугольника. Если для трех точек А, В, С выполняется равенство: то эти три точки лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С.