Задача по теме «Подобие».
Билет № 21
1.Теорема синусов. Следствие из теоремы.
Теорема синусов. Отношение двух сторон треугольника равно отношению синусов противолежащих им углов.
Д
оказательство:
1). Проведем из точки В перпендикуляр к стороне АС.
2). Из ABD (ADB = 90°): BD = AB∙sinA.
3). Из BCD (BDC = 90°): BD = BC∙sinC. 4). AB∙sinA = BC∙sinC.
Теорему синусов можно сформулировать и так: синусы углов треугольника пропорциональны противолежащим сторонам.
Теорема синусов традиционно выводится из равенства трех выражений площади треугольника. Однако ее можно получить совсем просто и в ее полном содержании без использования формулы площади.
П
роведем
радиус OD
окружности, описанной около данного
треугольника ABC,
перпендикулярный к стороне BC.
Тогда углы BAC
и BOD
равны, так как оба измеряются половиной
дуги BC.
Точка E
пересечения BC
и OD
— середина BC.
Поэтому из прямоугольного ВОЕ
имеем:
где R — радиус описанной окружности.
Аналогично b = 2RsinB и c = 2RsinC.
Отсюда
Нетрудно проверить, что в случае, когда угол A тупой или прямой, результат будет тот же.
Для практического применения теорему синусов полезно знать и в такой формулировке: каждая сторона треугольника равна диаметру описанной около него окружности, умноженному на синус угла, противолежащего этой стороне.
В доказательствах некоторых соотношений при выполнении тождественных преобразований теорему синусов можно использовать в виде:
asinB = bsinA, bsinC = csinB, csinA = asinC.
2. Доказательство теорем об углах, образованных пересекающимися хордами и секущими, проведенными из одной точки к окружности.
Теорема 1 (о градусной мере угла между двумя пересекающимися хордами). Угол между двумя пересекающимися хордами имеет градусную меру, равную полусумме градусных мер тех дуг, на которые опирается
этот угол и угол, вертикальный к нему.
Доказать:
Доказательство:
Способ 1. Рассмотрим CEB.
Способ 2. Построим AG II CD.
Заметим, что DG = AC – симметричны относительно центра окружности.
Теорема 2 (о градусной мере угла, образованного двумя секущими). Угол, образованный двумя секущими, пересекающимися в какой-либо точке вне круга, имеет градусную меру, равную половине разности градусных мер большей и меньшей дуг, высекаемых этими секущими на окружности и заключенными между ними.
Доказать:
Доказательство:
Способ 1.
Рассмотрим CMB.
Способ 2.
Проведем BE II MC.
Заметим, что AB = CE – симметричны относительно центра окружности.
3. Задача по теме «Метод координат».
Билет № 22