2.Доказать теорему об отношении отрезков медиан, на которые они делятся центром тяжести.

Теорема о свойстве медиан треугольника. Три медианы пересекаются в одной точке. Эта точка делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины.

Д оказательство:

1). Медиана АА₁ пересекает АВ в точке А₁. Медиана ВВ₁ пересекает АС в точке В₁. Тогда А₁В₁– средняя линия.

2). Рассмотрим  АОВ и  А₁ОВ₁.

3).Из подобия треугольников:

4). Аналогично доказывается, что точка О делит медиану СС₁ в отношении 2:1.

3. Задача по теме «Векторы».

Билет № 19

1. Трапеция (определение). Вывод формулы площади трапеции. Теорема о четырех точках трапеции (доказательство).

Определение 1. Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие – непараллельные.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные стороны – боковыми.

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, называется прямоугольной.

Определение 1. Высотой трапеции называется общий перпендикуляр ее оснований (или прямых, содержащих основания).

Теорема о площади трапеции. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты:

Д оказательство:

Теорема . В любой трапеции середины оснований и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой. Доказательство 1. Используем утверждение: отрезок прямой, заключенный между боковыми сторонами трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно ее основаниям, делится этой точкой пополам. 1. Соединим отрезком точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции Е и точку пересечения ее диагоналей О. ВС ЕО = М, АD ЕО = N. Докажем, что ВМ = МС и АN = ND (рис.1). Из этого и будет следовать, что середины оснований трапеции тоже лежат на той же прямой ЕО. По-другому говоря, переформулируем данную задачу так: доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжений ее боковых сторон, делит основания трапеции пополам.      

  

Рис. 1

2. Предварительно через точку О параллельно основаниям данной трапеции проведем прямую, пересекающую ее боковые стороны АВ и CD в точках Р и Q соответственно, и докажем, что РО = ОQ. Действительно,  ΔАОD ~ ΔВОС. Значит,  . Прибавив единицу к обеим частям этого равенства, получим

.     (1)

ΔВСD ~ ΔOQD, следовательно,  . Аналогично ΔВСА ~ ΔРOА и  . Но   согласно формуле (1). Отсюда следует:  . 3. ΔANE ~ ΔРОЕ и, значит,  . Аналогично  . Отсюда получаем, что  . Теперь уже видно, что из РО = ОQ следует, что АN = ND. 4. Точно также доказывается, что  .

Замечание. Сделав два «шага», доказательство можно продолжить по-другому. После того, как доказано, что  , имеем: середины оснований трапеции (М и N) и точка пересечения ее диагоналей (О) лежат на одной прямой.  Действительно, все три указанные точки являются серединами отрезков прямых, проведенных параллельно основанию треугольника АDЕ, поэтому они принадлежат медиане этого треугольника, проведенной из вершины Е к основанию АD. Тем самым доказано, что Е, М, О и N лежат на одной прямой.

Доказательство 2. Используем признак подобия треугольников по двум углам.

Pис. 2  

1. Соединим точки Е и О. Докажем, что ВМ = МС и АN = ND (рис.2). 2. Введем обозначения: ВМ = х, МС = у, АN = u, ND = v. Рассмотрим две пары подобных треугольников: ΔВМЕ ~ ΔANE и ΔМСЕ ~ ΔNDE. Из подобия ΔВМЕ и ΔANE следует  . Из подобия ΔМСЕ  и ΔNDE следует  . Значит,  3. Рассмотрим еще две пары следующих подобных треугольников: ΔВМО ~ ΔNОD и ΔМОС ~ ΔАОN. Из подобия ΔВМО и ΔNОD следует  . Из подобия ΔМОС и ΔАОN следует  . Значит,  . 4. Осталось решить систему уравнений:    Перемножим левые и правые части соответствующих уравнений: , т. е. ВМ = МС. Так как  , то  , т. е. АN = ND.