1. Теорема косинусов. Следствие из теоремы.

1. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке А так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси AX, а точка С имела положительную ординату.

Решение записывают все учащиеся.

2. Запишем координаты точек: B(c; 0) ; C(bcosA; bsinA).

3. Найдём квадрат стороны BC:

BC² = a² = (bcosA - c)² + (bsinA)² = = b²cos²A – 2bccosA + c² + b²sin²A = = b²(cos²A + sin²A) + c² – 2bccosA = = b² + c² – 2bccosA.

1 следствие.

Дано:

ABC

AC = b,

AB = c,

AH = b_c

__________________

Найти: a

Решение:

Возможны 2 случая:

а)  A – острый, то cosA > 0,

б)  A – тупой, то cosA < 0,

а) Если  A – острый, тогда

по теореме косинусов

a² = b² + c² – 2bccosA

В прямоугольном  ACH: b_c = bcosA. Так как  A – острый, то cosA > 0, тогда a² = b² + c² – 2b_cc, то есть квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение одной из них на проекцию другой.

Случай, когда угол, лежащий против неизвестной стороны тупой ,т.к. cosA < 0, то a² = b² + c² + 2bccosA, т.е. квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон плюс удвоенное произведение одной из них на проекцию другой.

2 следствие.

Дано:

ABCD – параллелограмм,

AB = CD =a,

BC = AD = b.

__________________

Найти: d₁² + d₂² .

Решение:

ABC: d₁² = a² + b² – 2abcosB.

ABD: d₂² = a² + b² – 2abcosA = a² + b² – 2abcos(180° -  B) = a² + b² + 2abcosB.

d₁² + d₂² = a² + b² – 2abcosB + a² + b² + 2abcosB = a² + b² + a² + b².

d₁² + d₂² = 2 a² + 2 b².

Вывод: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

3 следствие.

Дано:

ABC,

AB = c,

AC = b,

BC = a.

__________________

Найти: m_a

Решение:

Достроим  ABC до параллелограмма ABA₁C.

AA₁² + BC² = 2b² + 2c² . BC = a, 2m_a= AA₁.

(2m_a)² + a² = 2b² + 2c²

4m_a² = 2(b² + c²) – a²

m_a² =   

m_a =   

m_b = 

m_c = 

Вывод: В любом треугольнике со сторонами a, b и c длины медиан m_a, m_b, m_c вычисляются по формулам:m_a =  , m_b =  , m_c =  .