§ 16. Оценка точности вычислений с приближенными числами

Равномерное распределение случайных погрешностей измерений*

В некоторых случаях законы распределения элементарных погрешно­стей могут существенно отличаться от нормального. Так, например, погрешности отсчетов по шкале прибора или округление чисел при обработке результатов наблюдений подчиняются равномерному распре­делению, плотность которого выражается функцией:

23*

а ^при /(дг) = 0 при |*| > а

максимальное значение погрешности.

Как следует из графика функции (83), показанного на рис. 2, вероятность по­грешности на всем интервале ( — а, +а) одинакова, т. е. / (х) = с. Поскольку пло­щадь прямоугольника под графиком бу­дет равна

//(*)<& = 1,

—а

то [а — (—а)] • с = У, откуда с=2~ И

(83)

где а —

Рис. 2. График равномерного распределения случайных погрешностей

Раздел 1. Шмйго шн я1гре1ште8 измерен!

Основные характеристики равно­мерного распределения (математическое ожидание и стандарт) могут быть най­дены из следующих соображений.

Математическое ожидание

^{4 ;} 2а-_а 4а Л 4а^у ' Дисперсия может быть получена как

И(Х) = М{Х²У[М(Х)]².

Тогда стандарт распределения и его оценка — средняя квадратиче­ская погрешность округления

(84)

где а — абсолютное значение предельной погрешности округления.

Средняя квадратическая погрешность округления. В процессе вы­числений сохраняют определенное количество десятичных знаков при­ближенных чисел, отбрасывая ненужные, т. е. приближенные числа округляют до нужного знака. Сохраняемые десятичные знаки в при­ближенном числе называют значащими цифрами. Значащей цифрой может быть и нуль, если он расположен между значащими цифрами, отличными от нуля, или сохраняется в конце числа в результате округ­ления.

Процесс округления приближенного числа до некоторого разряда состоит в отбрасывании всех цифр, стоящих правее этого разряда. В вы­числительной практике принято округлять числа по правилам Гаусса. Чтобы округлить число до п значащих цифр, отбрасывают все цифры,

гш 4.пептоне шйц[ иш д|еш точности измерен*!

стоящие справа от л-й значащей цифры. При этом следует соблюдать следующие требования:

• если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся деся­тичные знаки сохраняются без изменения (например, 72,4 » 72);

• если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней остав­шейся цифре прибавляется единица (84,56 » 84,6);

• если первая из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных от­брошенных цифр имеются ненулевые, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу (64,51 » 65);

• если первая из отброшенных цифр равна 5 и все остальные отбро­шенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра сохраняется неизменной, если она четная, и увеличивается на еди­ницу, если она нечетная (например, 52,50 « 52, а 53,50 « 54).

Случайные погрешности округления обладают следующими свой­ствами:

• предельная погрешность округления а = 0,5 единицы последнего знака;

• положительные и отрицательные погрешности округлений равно- возможны;

• среднее арифметическое из случайных погрешностей стремится к нулю при неограниченном возрастании их числа.

Случайное значение числа а может находиться с равной вероятно­стью в пределах от (а — 0,51) до (а + где * = 2а — значение единицы последнего сохраненного разряда. В единицах округляемого разряда возможны следующие погрешности округления:

-0,5; —0,4; -0,3; -0,2; -0,1; 0,0; +0,1; +0,2; +0,3; +0,4; +0,5.

Если их рассматривать как истинные погрешности, тогда средняя квадратическая погрешность округления будет

Принимая ш_о = 0,3 и а = 0,5, можно записать соотношения между ними:

а = 1,7 т₀ — т₀\[з, или, как уже было доказано ранее,

^т'⁼7з' (85)

В общем случае выражение (85) можно записать как

^т°⁼Тз⁼1Гз~^0,31- (86)

Оценка точности арифметических действий с приближенными числами. Приведенные выше рассуждения относятся к одному округ­ленному числу, тогда как в обработке наблюдений выполняются опера­ции со многими числами. Суммарное воздействие таких чисел в про­цессе вычислений приводит к результатам, распределение погрешностей которых близко к нормальному. Это позволяет рассматривать погреш-

РАЗИН I. ЭЯЕМЕИТЫ 1ИРН ДВГРЕИНСТЕ1 ИЗМЕРЕН!

ности арифметических действий с приближенными числами как сред­ние квадратические погрешности функций независимо измеренных величин.

Погрешность округления алгебраической суммы приближенных чисел определится как

= (87)

где л — число членов суммы или разности. С учетом выражения (85)

(88)

Предельная погрешность

М_упред = Ът_у = а^г. (89)

Относительная погрешность алгебраической суммы чисел

= (90)

Оценка умножения и деления двух приближенных чисел в относи­тельной форме выражается соотношением

(91)

У х

Для произведения нескольких чисел предельная погрешность

Г.Г. Доклад С.П. Гриднев 1

ГЕОДЕЗИЯ 1

ГЕОДЕЗИЯ 6

Глава 8 70

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ И ИХ ТОЧНОСТЬ 70

§ 28. Процессы производства геодезических работ 70

§ 29. Единицы измерений, применяемые в геодезии 71

§ 30. Понятие о погрешностях измеренных величин и характеристиках точности измерений 72

§ 31. Требования к оформлению результатов полевых измерений и их обработке 75

Глава 9 81

УГЛОВЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ 81

§ 32. Принцип измерения горизонтальных и вертикальных углов 81

§ 33. Классификация теодолитов 82

§ 34. Принципиальная схема устройства теодолита 84

§ 35. Горизонтальный круг. Отсчетные устройства 85

§ 36. Зрительные трубы 90

§ 37. Уровни 95

§ 38. Вертикальный круг теодолита 101

§ 39. Устройство технических теодолитов 109

§ 40. Поверки и юстировки теодолита 112

§ 41. Установка теодолита в рабочее положение 126

§ 42. Измерение горизонтальных углов 126

§ 43. Погрешности измерения горизонтальных углов 129

§ 44. Измерение вертикальных углов 106

§ 45. Измерение теодолитом магнитного и истинного азимутов направлений 108

§ 46. Понятие об электронных и лазерных теодолитах 113

Глава 10 10

ЛИНЕЙНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ 10

§ 47. Способы измерения длин линий 10

§ 48. Механические приборы для непосредственного измерения длин линий 10

§ 49. Компарирование мерных приборов 120

§ 50. Понятие о свето- и радиодальномерах 122

§ 51. Оптические дальномеры. Нитяной дальномер 124

Глава 11 12

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЪЕМКАХ 12

Глава 12 10

ТЕОДОЛИТНАЯ СЪЕМКА. ПОЛЕВЫЕ РАБОТЫ 10

Глава 13 178

КАМЕРАЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПРИ ТЕОДОЛИТНОЙ СЪЕМКЕ 178

, -Лбе_ Ул²+л² 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ЗЕМЕЛЬНЫХ УГОДИЙ 189

§ 71. Аналитический способ определения площадей 189

§ 72. Графический способ определения площадей 190

§ 73. Механический способ определения площадей 194

§ 74. Измерение площади планиметром 199

§ 75. Порядок определения площадей земельных угодий, их увязка и составление экспликации 204

Глава 15 206

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ НИВЕЛИРОВАНИЕ 206

§ 76. Сущность и способы геометрического нивелирования 206

§ 77. Влияние кривизны Земли и рефракции на результаты геометрического нивелирования 210

§ 78. Нивелиры и их классификация 213

§ 79. Нивелирные рейки. Установка реек в отвесное положение 214

§ 80. Устройство нивелиров 217

§ 81. Поверки и юстировки нивелиров 221

§ 82. Основные источники погрешностей геометрического нивелирования 224

§ 83. Нивелирование III и IV классов 227

§ 84. Техническое нивелирование 230

§ 85. Продольное инженерно-техническое нивелирование 231

§ 86. Обработка журналов нивелирования 250

§ 87. Составление профиля трассы 232

§ 88. Нивелирование поверхности 236

§ 89. Понятие о лазерных и цифровых нивелирах 245

МЕНЗУЛЬНАЯ СЪЕМКА 240

§ 90. Сущность мензульной съемки 240

Глава 16 240

§ 91. Приборы, применяемые при мензульной съемке 243

§ 92. Поверки мензулы и кипрегеля 246

§ 93. Установка мензулы в рабочее положение 249

§ 94. Подготовительные работы при мензульной съемке 250

§ 95. Создание сети съемочного обоснования 251

§ 96. Съемка ситуации и рельефа 267

Глава 17 271

ТАХЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СЪЕМКА 271

§ 97. Сущность тахеометрической съемки 271

§ 98. Приборы, применяемые при тахеометрической съемке 272

§ 99. Создание сети съемочного обоснования 280

§ 100. Съемка ситуации и рельефа 281

§ 101. Камеральные работы при тахеометрической съемке 287

Глава 18 290

АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ СЪЕМОК 290

§ 102. Понятие об автоматизированных методах топографических съемок 290

§ 103. Электронная тахеометрическая съемка 295

§ 104. Определение положения точек земной поверхности с помощью геодезических спутниковых систем 300

§ 105. Понятие об автоматизированных способах построения плана по цифровой модели местности 307

Глава 19 12

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ РАБОТЫ НА СТРОИТЕЛЬНОЙ ПЛОЩАДКЕ ПРЕДПРИЯТИЙ 12

§ 106. Этапы геодезических работ при строительстве сооружений 12

§ 107. Составление проекта вертикальной планировки строительной площадки 14

§ 108. Геодезическая подготовка данных для перенесения проекта в натуру 23

§ 109. Строительная координатная сетка 308

§ 110. Элементы геодезических разбивочных работ 311

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ РАЗБИВОЧНЫЕ РАБОТЫ 311

§111. Перенесение проектных отметок на рабочие горизонты 317

§ 112. Способы перенесения в натуру точек и осей сооружений 320

т_й = ту]2, 52

2 = р% 1П0, 143

§ 20. Системы координат Государственного земельного кадастра 40

§ 21. Преобразование координатных систем 41

Глава 6 53

ОПОРНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ 53

§ 22. Классификация геодезических опорных сетей 53

§ 23. Традиционные методы построения государственных геодезических сетей 54

§ 24. Геодезические сети сгущения и съемочные сети 62

§ 25. Совершенствование системы геодезического обеспечения в условиях перехода на спутниковые методы координатных определений 63

§ 26. Геодезическая основа межевания земель 64

§ 27. Закрепление и обозначение на местности пунктов геодезических сетей 65

Глава 7 26

СОЗДАНИЕ И РЕКОНСТРУКЦИЯ СПУТНИКОВЫХ ГОРОДСКИХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ 26

§ 28. Городские сети и их классификация 26

§ 29. Требования к закреплению пунктов спутниковых городских геодезических сетей 29

§ 30. Основные принципы построения спутниковых городских геодезических сетей 30

§ 31. Наблюдения на пунктах спутниковой сети 33

§ 32. Предварительная обработка спутниковых наблюдений 36

§ 33. Городская полигонометрия 37

§ 34. Обработка и уравнивание городских геодезических сетей. Составление каталогов координат 38

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОПОРНЫХ ПУНКТОО 43

§ 35. Прямые геодезические угловые засечки 43

§ 36. Обратная геодезическая засечка (задача Потенота) 436

§ 37. Комбинированная геодезическая засечка 453

Глава 9 29

УГЛОВЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ В ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЯХ СГУЩЕНИЯ 29

г = +0,3' 190

Глава 10 219

ЛИНЕЙНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ В СЕТЯХ СГУЩЕНИЯ 219

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В СЕТЯХ СГУЩЕНИЯ 509

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНИВАНИИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ 34

УПРОЩЕННОЕ УРАВНИВАНИЕ ТИПОВЫХ ФИГУР ТРИАНГУЛЯЦИИ 536

УПРОЩЕННОЕ УРАВНИВАНИЕ СЪЕМОЧНЫХ СЕТЕЙ 561

1>₃=Н_Г-~Н₃, »₄=Н₄-Н_Г 597

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 581

предметны! указатель 583

(93)

Му пред _

Предельные относительные погрешности функций возведения в сте­пень и извлечения корня определяются соответственно выражениями:

^у пред . ^М у пред ₌ 1 _ Д

у X ' у п X • * '

В вычислительной практике для уменьшения влияния погрешностей округления промежуточные результаты обычно принимают на поря­док точнее результатов измерений. Например, если измерения углов выполнены с погрешностью 0,5 — 1,0', то промежуточные результаты вычисляют с точностью до 0,1'.

ИМ 4. МЙГОУЕ РМИЕСЕМЕ ПИТОН ЦЕИ1И ТОЧИИП ИЗМЕРЕНИЯ