§ 17. Понятие о прямой и обратной задачах теории погрешностей измерений. Принцип равных влияний

При практическом использовании теории погрешностей измерений часто решают две принципиально разные задачи.

В прямой задаче по известным погрешностям отдельных измерений находят погрешности окончательных результатов, являющихся функ­циями этих измерений. С прямой задачей связано также установление допустимых невязок.

С помощью обратной задачи можно установить средние погрешно­сти отдельных измерений для обеспечения заданной точности некото­рой функции измеренных величин у=/{х_1Ух_2>...,*„).

(95)

В основу решения обратной задачи положено выражение

М_у = Г(т_пт₂₉.>.,т_н),

где М_у — погрешность функции (допустимое значение конечного ре­зультата), т_р т₂, ..., т_п — искомые средние квадратические погрешно­сти измерений.

Поскольку уравнение (95) содержит несколько неизвестных, то об­ратная задача имеет множество решений. Подобную неоднозначность можно разрешить, накладывая дополнительные условия, которые ос­нованы на различных принципах; наиболее простым из них является принцип равных влияний.

Сущность принципа равных влияний заключается в требовании равенства слагаемых в формуле средней квадратической погрешности функции общего вида

\2

(ж.

Приняв, что

ш-

получим

ж.

ск₇

(96)

(Ье„

ч

\Гп'

Приведенное соотношение позволяет вычислить значения сред­них квадратических погрешностей аргументов по заданной точно­сти функции.

Пример. Превышение между точками, определенное методом три­гонометрического нивелирования, рассчитано по формуле к = Изт V. В результате измерений получено наклонное расстояние 200 м и угол наклона у = 5°. Величина превышения Л должна быть получена со сред­ней квадратической погрешностью М_л = 0,10 м. С какой точностью должны быть измерены наклонное расстояние О и угол наклона V?

нца 1. яемнгш тиню игашй имеем

Погрешность функции Л = Изт V

• 1 1 у

81П V • т_п + и С08 V • —у р '

При условии, что влияние погрешностей измерений расстояния и утла наклона на величину средней квадратической погрешности превы­шения одинаково, можно записать

81П УГПп= О С08 V т = -=*-

ИЛИ

м1 = 281П² V • т^ ; = 20 С08 V • —у

Тогда

Отсюда

т_п — -

Г) С08 V '

Подставляя в полученные выражения численные значения извест­ных величин, получим:

1

М_к 0,10 м

= 0,81м;

1,41-0,987

0,81 м

200 м 250 * 0,10 м- 206265^я

й

М_к-р

« 7У

" у[2Всо85° 1,41-200 м-0,996

«И®

Следовательно, в рассматриваемом примере для обеспечения тре­буемой точности определения превышения (М_л = 0,10 м) измерение угла наклона можно выполнять теодолитом типа ТЗО, а расстояние измерять с помощью нитяного дальномера.

Раздел II

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ РАБОТЫ НА БОЛЬШИХ ТЕРРИТОРИЯХ

СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

§ 18. Основные системы координат в геодезии

Для определения положения точек в геодезии используют прямоли­нейные прямоугольные (двухмерные — на плоскости, трехмерные — в пространстве) и полярные (двухмерные — на плоскости, на поверхно­сти сферы или эллипсоида, трехмерные — в пространстве) системы координат. Указанные системы координат можно классифицировать по следующим основным признакам:

1. по расположению начала отсчета координат — геоцентрические, квазигеоцентрические и топоцентрические;

2. по виду координатных линий — прямоугольные на плоскости и в пространстве, криволинейные (сферические — на шаре, эллипсоидаль­ные — на эллипсоиде);

3. по назначению — звездные и земные.

При решении многих задач геодезии, охватывающих большие про­странства, фигура Земли аппроксимируется математически правильной фигурой эллипсоида вращения, близкого к геоиду (квазигеоиду). Эл­липсоид вращения, параметры которого подбирают при условии наи­лучшего соответствия фигуре геоида в пределах всей Земли, называют общим земным эллипсоидом (Нормальной Землей). В различных стра­нах для обработки геодезических измерений используют эллипсоиды, размеры и ориентирование которых в теле Земли наилучшим образом подходят для данной территории; такие эллипсоиды называют референц- эллипсоидами.

• большая полуось

• малая полуось

• сжатие

- первый эксцентриситет

е-

е = у1а²-Ь² /а =0,08181333.

Размеры эллипсоида Красовского довольно близки к размерам об­щего земного эллипсоида, а их сжатия практически совпадают.

В России и в ряде других стран при выполнении геодезических работ с 1946 г. используют референц-эллипсоид Красовского с параметрами:

а = 6 378 245,000 м; Ь = 6 356 863,019 м; а = (а-Ь)/а = 1:298,3;

№щ и. гецвивие работы п шшн терршрш

Эллипсоид Красовского в качестве координатной поверхности вме­сте с выбранными исходными геодезическими датами (координатами начального пункта геодезической сети страны и азимутом исходной стороны) образует государственную референцную «Систему коорди­нат 1942 г.» (СК-42).

В настоящее время Государственными системами геодезических коор­динат и высот России являются система координат 1995 г. (СК-95), введен­ная постановлением Правительства РФ с 1 июля 2002 г., и Балтийская система высот. В качестве координатной поверхности в этой системе используется эллипсоид Красовского. За начало координат (как и в СК-42) приняты координаты центра Пулковской астрономической обсерватории, за исходный уровень отсчета высот — средний многолетний уровень Балтийского моря с исходным пунктом нивелирной сети в Кронштадте.

Кроме того, в различных регионах могут использоваться местные системы координат, в которых принято другое начало координат либо имеет место разворот координатных осей на некоторый угол. К мест­ной может быть также отнесена общегосударственная система коорди­нат СК-63, поскольку ее координатная сетка сдвинута и развернута по отношению к стандартной прямоугольной сетке в проекции Гаусса — Крюгера. Следует учитывать, что после завершения геодезических ра­бот координаты пунктов в местной системе координат должны быть перевычислены в государственную референцную систему.

Для определения положения пунктов на земной поверхности исполь­зуют астрономические и геодезические системы координат, которые объединяются под общим названием географической системы координат (см. главу 3 первой части пособия).

В геодезической системе координат положение проекции точки А на поверхности эллипсоида (рис. 3) определяется координатами: геоде­зической широтой В и геодезической долготой I, т. е. А' (В, I).

Как отмечено ранее, в геодези­ческой системе координат (рис. 3) положение точки А на физической поверхности Земли определяется ко­ординатами В, I и геодезической вы­сотой Н, характеризующей отстоя­ние по нормали данной точки от ее проекции А' на поверхности эллип­соида. Геодезические координаты В, I, Н принято называть простран­ственными эллипсоидальными коор­динатами.

Рис. 3. Геодезическая система координат

Астрономические сферические координаты точек на земной поверх­ности определяют по результатам наблюдений небесных светил. Аст­рономической широтой <р называют угол между отвесной линией в дан­ной точке и плоскостью экватора. Астрономической долготой Л точки

Г1Ш 5. СИСТЕМЫ Н1ЦЩТ

называют двугранный угол между плоскостью начального (Гринвич­ского) меридиана и плоскостью астрономического меридиана данной точки. Под плоскостью астрономического меридиана точки понимают плоскость, проходящую через отвесную линию в данной точке и распо­лагающуюся параллельно оси вращения Земли.

В геодезической системе коор­динат длины дуг на поверхности эллипсоида выражают в градусной мере, в то время как расстояния на поверхности земли измеряют в линейной мере. Угловые величи­ны широт и долгот имеют разные линейные значения в зависимо­сти от широты района. Поэтому иногда вместо геодезической сис­темы координат удобно использо­вать систему прямоугольных сфе- роидических координат (рис. 4).

В данной системе за ось сфе- роидических абсцисс принимают осевой меридиан РОР_г за ось сфе- роидических ординат — экватор

ЕОЕточка О — начало коорди-

нат. Если через точку А провести дугу первого вертикала (т. е. дугу главного нормального сечения, перпендикулярного к осевому ме­ридиану), то дута осевого меридиана ОА' — сфероидическая абсцисса точки А, а дута вертикала А'А — сфероидическая ордината точки. В этой системе координаты точек выражаются в линейной мере.

Рис. 4. Система прямоугольных сфероидических координат

Астрономические (<р, Л) и геодезические (В, I) координаты связаны между собой соотношениями:

(97)

Рис. 5. Система пространственных прямоугольных координат

где г/ — составляющие уклоне­ния отвесной линии в плоскости меридиана и плоскости первого вертикала соответственно.

Наряду с эллипсоидальной сис­темой координат для изучения фи­зической фигуры Земли и реше­ния научных и практических задач геодезии широкое применение по­лучила система пространствен­ных прямоугольных координат (рис. 5).

В этой системе за начало коор­динат принят центр О земного эл­липсоида, ось ОТ. совпадает с малой

Ь — Л — рзесру

раздел и, гнившие миш ц ими терр1т1рщ

осью эллипсоида, ось ОХ находится на пересечении экватора и началь­ного меридиана, ось ОУ дополняет систему до правой, т. е. находится в плоскости меридиана с геодезической долготой I = 90°.

Положение точки А в этой системе определяется координатами:

Х = ОА", У=А'А", 2 = А'А.

(98)

Связь между геодезической широтой В, долготой Ь и высотой Н точ­ки земной поверхности над поверхностью эллипсоида и прямоугольными пространственными координатами выражается формулами:

X = + Н)со$Всо$Ь; 2 = [>(/-е²) + #]$и1Д,

где Л^г =

тг;

²зт² В

— радиус кривизны первого вертикала, т. е. главного

нормального сечения, перпендикулярного к меридиану (см. рис. 4); е — эксцентриситет меридианного эллипса эллипсоида; Н — геодезическая высота данной точки.

Если начало пространственных прямоугольных координат располо­жено в центре референц-эллипсоида, то такая система называется ре­ференцией. Она применяется при обработке обширных геодезических сетей, фототриангуляционных сетей большой протяженности и при решении других задач, связанных с референц-эллипсоидом.

Если за начало координат принят центр общего земного эллипсоида (центр масс Земли), а ось 2 совмещена с осью вращения Земли, то такую систему называют геоцентрической. Она применяется при решении гео­дезических задач, связанных с обширными частями земной поверхнос­ти или со всей фигурой Земли (например, в космической геодезии).

В системе геоцентрических координат положение точки А на поверх­ности эллипсоида определяют геодезической долготой I и геоцентри­ческой широтой ф, равной углу между радиус-вектором с и плоскостью эква­тора (рис. 6).

В геоцентрической системе про­странственные прямоугольные и эл­липсоидальные координаты связаны соотношениями:

X = /РСО50СО5Ц

У = /?со80$\пЬ; (99)

2 = р% 1П0,

где р =К + к; К — средний радиус Зем­ли; Н — высота пункта над поверхно­стью эллипсоида; ф— геоцентрическая широта; I — геодезическая долгота. Рис. 6. Геоцентрическая ^ПР^И решении некоторых задач на

система координат поверхности эллипсоида вместо геоде-

ГШ 5. СИСТЕМУ ЩРЦШТ

зической широты В или геоцент­рической широты ф удобно ис­пользовать приведенную широту [/, оставляя в качестве второй ко­ординаты геодезическую долготу I (рис. 7).

Из центра меридианного эллип­са ЕРЕ₁Р_} проведена окружность ЕР'Ерадиусом, равным большой полуоси а. Точка А' получена пере­сечением окружности линией АА_}, параллельной малой оси эллипса РР_Г АС — нормаль к поверхности эллипсоида в точке А. Тогда приве­денная широта С/ определится как угол, составленный радиусом — век­тором ОА! с плоскостью экватора.

Рис. 7. Связь между геодезической, приведенной и геоцентрической широтами

Геодезическая, приведенная и геоцентрическая широты связаны между собой простыми соотноше­ниями:

(100)

или

Система координат, начало которой совпадает с точкой наблюдения на земной поверхности или в околоземном пространстве, называется топоцентрической системой координат. Топоцентрические системы координат подразделяют: на горизонтальную, если за основную коор­динатную плоскость принята плоскость горизонта наблюдения; на эк­ваториальную, если за основную принята плоскость, параллельная земному экватору.

Если в топоцентрической го­ризонтальной системе координат (рис. 8) ось Т.' совпадает с нор­малью к поверхности эллипсоида в точке О_г то имеем геодезиче­скую систему отсчета координат, а при совпадении оси 2! с отвес­ной линией точки 0_; — астроно­мическую систему отсчета коор­динат; эти системы связаны между собой через уклонение от­весной линии от нормали к по- _{?ис 8 Топоцент}рические горизон- верхности эллипсоида. шальные координаты