§ 35. Прямые геодезические угловые засечки

Прямая геодезическая засечка применяется для определения коор­динат дополнительной точки на основании двух исходных пунктов с известными координатами. Прямая засечка может быть использована также для привязки теодолитных или тахеометрических ходов к пунк­там геодезической опорной сети. На практике обычно применяют мно­гократные прямые засечки с трех и более пунктов, обеспечивающие надежный контроль и повышающие точность определения координат искомого пункта.

Различают две схемы решения задачи.

1. По измеренным углам между направлением исходной стороны и направлениями на определяемый пункт Р (рис. 40, а).

2. По дирекционным углам направлений с исходных пунктов на определяемый (рис. 40, б).

Рассмотрим способы решения задачи по каждой схеме.

б

р

V

А

Рис. 40. Схемы решения прямой геодези­ческой засечки: а — по измеренным углам; б — по дирекционным углам

а

X

Рис. 41. Прямая геодезиче­ская засечка по измеренным углам с двух точек

Г1Ш I. ИКЦЕ1ЕИЕ Ш11ЕИ1 ЦНМИШМИ И1ННЖ 1УИ1ПВ

Решение прямой геодезической засечки по измеренным углам (рис. 41). Пусть известны координаты исходных пунктов А(х_а ,у_А) и В(х_в, у_в), между которыми имеется взаимная видимость, и на них измерены горизонталь­ные углы Р₂. Требуется определить координаты точки Р(Хр, у_р).

Решение задачи выполняют в следующей последовательности.

1. Вычисляют горизонтальный угол у при определяемой точке Р:

М+А).

2. Определяют дирекционный угол а_АВ стороны АВ и ее горизон­тальную длину с1_ав:

где г_АВ — табличный угол (румб) направления АВ.

По знакам приращений координат Дх и Ау устанавливают четверть, в которой находится направление АВ, и вычисляют дирекционный угол а_АВ. Длина стороны

_л —ув~уа _^хв~^ха

^АВ вхпа^ соза_АВ •

3. По теореме синусов вычисляют длины других сторон треугольни­ка через известную длину стороны АВ и измеренные утлы и /?₂:

А -А . _й .

4. Находят дирекционные утлы сторон АР и ВР.

где *_м = а_АВ + т\

5. Вычисляют приращения координат точки Р.

Относительно точки А:

&^хар^=с*ар^со*^аар>'

ЬУАР=<*АР*™^аАР

Относительно точки В: Ах_вр -й_врсоза_ър;

^аУвр =4врЫ^павр-

6. Вычисляют координаты точки Р дважды. Относительно точки А:

х_Р=х_А + Ах_ЛР =х_А+ й_АР соз а_АР;

Ур = У л + &Уар =Уа+ <*ар з1па_АР.

Относительно точки В:

х_Р=х_в + Ах_ВР = х_в+с!_вр соз а_вр ;

у_Р=у_в+Ау_ВР =у_в +4_ВРзта_ор.

Двойные значения найденных координат точки Р дают контроль вычислений.

7. Зная погрешность измерения горизонтальных углов т^, вычис­ляют погрешность в положении определяемой точки Р:

27*

РАЗЦИ II. ГЕЦЕЗНЕСШ МИТУ И ШЫШ ТЕРНГОШ

Ът\

-фт² ЯП²

р'зту * ■ <¹³⁴)

где Ь — базис засечки, Ь = т'\ — средняя квадратическая погреш­ность измерения углов; р" = 206 2о5".

Как следует из выражения (134), погрешность положения точки Р, определяемой прямой однократной засечкой, зависит не только от точности угловых измерений, но и от формы и размеров треугольника. Наиболее выгодной формой является треугольник, у которого угол у при засекаемой точке Р близок к 90°; поэтому в прямой засечке / не должен быть менее 30° и более 150^е. Погрешность положения определяемой точки будет возрастать с ее удалением от исходных пунктов и увеличе­нием длины базиса.

При наличии трех исходных пунктов (см. рис. 40, а) координаты точки Р определяются дважды из независимых решений треугольников АВР и ВСР, что обеспечивает надежный контроль угловых измерений и вычислений.

Расхождение между координатами точки Р, найденное из двух опре­делений, должно удовлетворять условию

Р

А

В (2)

а.

А(1)

(135)

где д_х=х'-х"; /; М = ^М* + М\,

здесь М₁ и М₂ — средние квадратические погрешности положения точки Р по двум определениям, вычисляемые в соответствии с формулой (134).

При допустимом расхождении за окончательные значения коорди­нат точки Р принимают средние арифметические их значения из двух решений.

Вычисление координат искомой точки может быть выполнено по фор­мулам Юнга и Гаусса, не требующим предварительного решения тре­угольников.

В этом случае должен соблюдаться определенный порядок нумерации ис­ходных пунктов, отвечающих правилу: если встать в середине линии между ис­ходными пунктами лицом к искомому пункту Р, то исходный пункт, находя­щийся по левую руку, будет первым, а по правую — вторым (рис. 42).

Рис. 42. Схема к выводу формулы Юнга

а_вр = а₂ (рис. 42), можно записать:

а

^ао< ^аАР = ^а\

АВ

Формулы Юнга (формулы котанген­сов измеренных углов). Эти формулы получают путем преобразования формул приращений координат. Заменив бук­венные обозначения исходных пунктов А м В цифрами 1, 2 и обозначив длины сторон АВ = Ь, АР = с?,, ВР и дирекционные утлы сторон как

х₂ — х_х =Ьсо$а₀;1 У2~У\ ⁼Ь$\па₀ \

(137)

Г1Ш 1.ЦРЕИЕДЕИЕ ИМВЖЕ1И ДВШВГЕЛЬИЫХ ВИРЙЫХ ЯУН1ТЯВ

х_р-х_} = й, соз а ₁ — с?! (соз а₀ - /9 ₁) ;

Преобразовав правые части уравнений (137) с использованием три­гонометрических формул функций разности углов, получаем:

138. уравнения

хр—х,^ с!₁ (соз а₀ соз /?₁ + зт а₀ зт /3_}) ; у_р—у_} = й₁ (зт а₀ соз /3₁ - соз а₀ зт )

Т Ж ^хг~^х\ • Уг~У\ • Уг~У\

Имея в виду, что со$а₀= ^г, \$та₀= , \$та₀= ,

(138) запишутся

> - */ = 4А +А

Уг

\ Ь Ь

-л = <*,(•

Умножив и разделив правые части уравнений (139) на в/п /?,, получаем:

(140)

У?~ У,- ^^-[(Уг ~ У/) А ~ (*; - х,)] По теореме синусов

зт /3₂

Ь зт(/?₁+/?₂) зт /3₁ соз /3₂ + соз зт /?₂ После умножения на зт Р₁ выражение (141) примет вид

51П 5Ш 51П /?₂ 1

(141)

2 .

(142)

Ъ 51П Д СОЗ /9₂ + СОЗ /7, 81П ~ + с(%/?₂ '

Тогда уравнения (140) с учетом выражения (142) можно записать: _х __х А*г-»,)^СЧА⁺(У2-У,)

^Р ' С18/?,+С1_ё/?₂

- У ,)с>2 А-(*!-*,) ' с1₈А+С(8/?₂

После простых преобразований последние выражения примут вид:

_г _ -Уу+Уг.

РДЗЦЕ111. ТЕЦЕЗНЕСШ НИМ Ц ШИТО 1ЕРРГОРИ1

Решение прямой геодезической засечки по формулам Юнга удобно выполнять в специальном формуляре (табл. 13) с использованием микро­калькулятора. Цифры в скобках означают последовательность операций.

Таблица 13

Решение прямой геодезической засечки по формулам Юнга

Рабочие формулы

+с1ёР₂

У №02 +У₂^с'201 +^х,~Х₂ + *&р₂

Назва­ние пунктов	Углы Рг 00	Абсциссы пунктов, м	1 2 3	с^Рг с*ёРг +С1&Р	Ординаты пунктов, м	2 3
А В Р	37°46' 37" 58° 05'44" (10) (84°07' 39м)	6 469,91 2 449,93 (14) 3 233,88		(И) 0,622 553 1,290 264 1,912817	6 068,51 5 065,41 (15) 7 493,49
	180° 00' 00м
В	. 74° 18' 12"	2 449,93		1,862 714	5 065,41
С	28° 13' 45"	-1 936,47		0,281 025	7 978,67
р	(77° 28' 03")	3 233,87		2,143 739	7 493,46
	180° 00' 00"

Среднее значение координат: х_ср = 3 233,88 м; у_ср = 7 493,48 м.

Ь ■ /И* / г

⁸А; = ²">

М₁ = 0,04 м; М₂ = 0,06 м; М = +М₂² = 0,07л*.

г = ^ +д; = >/0,01² +0,03² = 0,03 м.

Условие: г < ЗМ; 0,03м < 3 х 0,07 м — условие удовлетворяется.

Решение прямой геодезической засечки по дирекционным углам направлений. Формулы Гаусса. Такая схема применяется при отсут­ствии взаимной видимости между исходными пунктами 1 и 2. В этом случае на пунктах 1 и 2 измеряют примычные углы /?,, Д, между исход­ными сторонами 1-1 и //-2 и направлениями на определяемую точку Р (рис. 43).

Как следует из рис. 43, с учетом принятых обозначений

Схема

+ А; = ^2-11 + Л-

гт i. икщеие шиш рмшим ими» тт

Из решения обратной геодезической задачи следует:

¹%^а\ - _г __у ' & 2 = _г __г •

л р Л| л р л 2

Тогда

Ур=У1+{хр-х,)*8*,;1

Вычтя из второго уравнения первое, получаем:

После раскрытия скобок уравнение примет вид

2(х,у.)

(144)

Рис. 43. Схема к выводу формул Гаусса

У2 ~ Л + " - + ^Х№^а\ = О- Произведя группировку членов уравнения, имеем

(146)

Хр ('8*2 ~ ) + - *2Ъ^аг +У2-У1⁼⁰>

или

^ХР - *8*2) = Х&0, - Х&а2 - У, + У₂.

Тогда

(145)

Зная значение абсциссы определяемой точки Р, дважды (с контро­лем) вычисляем ординату у_р по формулам

Уг=У1+{хр-х₁)*8"1>^ш 1

Формулы (145) и (146) называют формулами тангенсов дирекцион­ных углов (формулами Гаусса).

(147)

(148)

Координаты определяемой точки х_р и у_р могут быть выражены функцией котангенсов дирекционных углов, формулы которых выво­дятся по аналогии с предыдущими:

_ у^а_х ~ у₂с1ё#₂ ~х_х+х₂ ^р с1%а_х-с1%а₂

Хр =*/+(.УР~У,)С18*1; х_Р=х₂+(ур-у₂)с(8<7₂.

Решение прямой геодезической засечки с помощью таблиц натураль­ных значений тригонометрических функций удобно выполнять по формулам тангенсов дирекционных углов (145) и (146), если значение одного из дирекционных углов направлений на определяемую точку близко к 0° или 180°.

МЗДЕД II. ГЕЦЕЗИЕСИЕ РАНТЫ Ц ИМИ ТЕРРМТ1РШ

В случае, когда значение одного из дирекционных углов окажется близким к 90° или 270°, вычисление по вышеуказанным формулам ста­новится неудобным вследствие большой величины тангенса этого ди­рекционного угла. В этом случае выгодно пользоваться формулами котангенсов дирекционных углов (147) и (148).

При использовании микрокалькуляторов и ЭВМ расчеты могут выполняться по любой из групп формул Гаусса.

Пример расчета координат точки Р, определенной прямой геодези­ческой засечкой, по формулам тангенсов дирекционных углов направ­лений приведен в табл. 14.

Таблица 14

Решение прямой геодезической засечки по формулам Гаусса

Схема

Рабочие формулы

_{х =} х&<*1-х₂%а₂+у₂-у, ,

Ур=У1+(^ХИ-*1)*8^а1>' Ур=У2+(Хр-*2)*8^а2-

Название пунктов	"о, А	Р2 а2	Абсциссы пунктов, < м	1 2 3		Ординаты пунктов, м	1 2 3
А В Р	101е 15' 42" 234е 58'20" 156е 14' 02"	120°47' 14" 131°19' 09" 72°06' 23"	6 469,91 449,93 233,88		-0,440 347 3,097 240 -3,537 587	068,51 5 065,41 493,49
В С р	120°47' 14" 131° 19' 09" 72° 06' 23"	81° 31' 17" 93° 07'03" 354° 38' 20"	449,93 -1 936,47 233,87		3,097 240 -0,093 843 3,191083	5 065,41 7 978,67 7 493,46

Средние значения координат: х_ср = 3 233,88 м; у_ср = 7 493,48 м.

Порядок вычислений координат пункта, определяемого прямой за­сечкой, по формулам котангенсов тот же, что и по формулам тангенсов дирекционных углов. Погрешность значений координат искомого пунк­та определяют аналогично предыдущему способу (см. табл. 13).

Приведенные выше формулы Юнга и Гаусса находят широкое при­менение при решении как отдельных треугольников, так и различных систем цепей треугольников, геодезического четырехугольника, цент­ральной системы и т. д. Недостатком этих формул является то обстоя­тельство, что они не дают возможности получать расстояния между пунктами; значения последних приходится определять решением об­ратных геодезических задач.

гш I. туш НИ1Е111 мшитамуж шит 1шш