Раздел 11урд8иише гецезиесш сетей сгущения и пемияых сетей

но относительно главной диагонали. Решив систему (250), найдем по­правки к предварительным (приближенным) значениям искомых па­раметров и получим уравненные значения параметров

2} = 7?+Л} 0 = 1,2, /).

Подставив найденные поправки ЗТ. в систему параметрических уравнений поправок (248), найдем поправки о. в измеренные величины

и вычислим уравненные значения измеренных величин по форму­ле (244).

§ 69. Уравнивание сетей триангуляции коррелатным способом

Сеть триангуляции строится из геометрических фигур — треуголь­ников, в каждом из которых измеряют все три угла (/?,, /3₂, /З₃). Наличие избыточного измерения (третий угол может быть вычислен) влечет проверку (контроль) на соблюдение геометрического условия фигуры (треугольника), так как известно истинное (теоретическое) значение суммы углов в треугольнике. Разность между практической (получен­ной по измеренным углам) и теоретической суммами углов треуголь­ника представляет собой невязку

К = (251)

Задача состоит в нахождении поправок в измеренные углы и₍, чтобы сумма исправленных поправками (уравненных) углов /?. была бы равна теоретической сумме, т. е.

7,₍₂₅₂₎

"р-ш^о. ₍₂₅₃₎

Подставив выражение (252) в (253) и учитывая (251), запишем

*>, + + + ^ = 0. (254)

Уравнение (254) называется условным уравнением поправок, а XV — свободным членом (невязкой) этого уравнения.

Дальнейшее изложение коррелатного способа уравнивания приве­дем для случая равноточных измерений.

Запишем в общем виде для какой-либо геодезической сети все неза­висимые условные уравнения. Заметим, что число условных уравнений г равно числу избыточных измерений.

а₁г/₁+а₂г/₂ + ... + а_пР_п+\У₁ =0,

Г1Ш п. ЦЦЕ СВЕДЕМ» ВЬ ШШШ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕ1Е1

где а₍, Ь., г. — коэффициенты (/ = 1, 2, ..., л); о. — поправки; ИЛ — невязки (свободные члены).

Система (255) называется системой условных уравнений поправок, в которой имеется л неизвестных поправок и г уравнений. Заметим, что число г уравнений всегда меньше числа л неизвестных, т. е. г < л. В этом случае система (255) имеет бесчисленное множество решений. Необхо­димо отметить, что в уравнения (255) должны быть включены поправки ко всем измеренным величинам.

(256)

Перепишем систему (255) в обозначениях Гаусса как

[Ы/] + 1У₂=0, [гр] + ]у_г = 0

Применим принцип наименьших квадратов, т. е. из всех возможных решений системы (256) выберем такое решение, которое приводит к результату \[?\ = тт.

Решение системы (256) под условием минимума квадратов аргумен­тов (т. е. поправок) есть задача математического анализа на условный экстремум. Для решения этой задачи составим функцию Дагранжа в виде

(257)

где к. — неопределенные множители Дагранжа (коррелаты),у = 1,2,..., г.

Сравнивая выражения (256) и (257), видим, что в правой части уравне­ния (257) после члена [о²] находятся члены, равные нулю, поэтому коэф­фициенты к. названы неопределенными множителями (коррелатами).

Для нахождения минимума функции (257) необходимо найти част­ные производные функции по всем аргументам и приравнять их к нулю, т. е.

ЭР

= 2гл — 2а,к, — 2Ь,к> —... — 2г.к_г — 0,

др, ' ^{11 12 1г}

дР

= 2ь' — 2 а,к, — 2Ь₇к, —... — 2г_ук — О,

ЭР

др₂ ^{2 2 1 2 2 2 г}

= 2г/ - 2а к, - 2Ък, -... - 2г к_г — О

П П I П I п Г

Отсюда найдем поправки и.

^{= а}А + + ' • • + ^ГА>

У₂ = а₂к₁+Ъ₂к₂+... + г₂к_г

"п=*_пк,+Ь_пк₂+... + г_пк_г

тт и. им—ше гецезотесш сете! сгущения и сшш сете!

Система (258) называется системой коррелатных уравнений попра­вок. Подставив и. из системы (258) в систему (255) условных уравнений поправок, получим для первого уравнения

а₁(а,к₁ +Ъ₁к₂+... + г_}к_г) + а₂{а₂к₁+Ь₂к₂+... + г₂к_г) + ... + а,Ха_пк_}^ =0,

а_]а₎к₁ + а_]Ъ₁к₂ +... + а^к, + а₂а₂к, + а₂Ь₂к₂ +... + а₂г₂к_г +... + а_па_пк_} + а_пЪ_пк₂ +... + а_пг_пк_г + 0^=0.

Аналогично получим для всех других уравнений системы (255) и запишем в сокращенных обозначениях:

[аа]к, +... + [аг]к_г + = 0,

(259)

[аЪ\к, + [ЬЬ]к₂ +... + [Ъг]к_г + !Г₂ = 0,

[аг]к, -I- [Ъг]к₂ +... + [гг)к, + №, = 0

Система (259) называется системой нормальных уравнений корре- лат, так как число неизвестных 1с. равно числу уравнений, т. е. система имеет размерность г х г и имеет единственное решение. Эта система симметрична относительно главной диагонали, по которой находятся квадратичные коэффициенты [аа], [ЬЬ], [гг].

Решив систему (259) нормальных уравнений коррелат, найдем кор- релаты к. {] = 1, 2, ..., г) и, подставив их в систему (258), вычислим по­правки и._; (/ = 1, 2, п) и далее по формуле (252) — уравненные значе­ния измеренных элементов (в приведенном примере — углов).