12.9 Закон полного тока для магнитного поля в веществе. Циркуляция вектора

Теорема о циркуляции вектора :

Циркуляция вектора магнитной индукции : по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и молекулярных токов, охватываемых этим контуром. умноженной на магнитную постоянную:

Теорема о циркуляции вектора : , где

Вблизи границы раздела двух магнетиков:

Изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле Е_В циркуляция которого

Ток смещения:

Плотность тока смещения: .

где - вектор электрического смещения

Плотность тока смещения в диэлектрике: ,

где - плотность тока смещения в вакууме;

- плотность тока поляризации.

Плотность полного тока:

Обобщенная теорема о циркуляции вектора :

Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:

;

Величины, входящие в уравнение Максвелла, не являются независимыми и связаны так:

Полная система уравнений Максвелла в дифференциальной форме

;

Волновое уравнение

.

где - оператор Лапласа

- фазовая скорость

- скорость распространения электромагнитных волн в вакууме

Векторы колеблются в одинаковых фазах, причем:

Объемная плотность энергии электромагнитных волн?

Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны – вектор Пойнтинга:

Уравнение гармонических колебаний:

x = Acos (ω₀t + φ); x = A sin (ω₀t + φ),

где x –смещение колеблющейся величины от положения равновесия;

А – амплитуда колебаний;

ω=2πν =2π/T - угловая (циклическая) частота;

ν - частота колебаний; T - период; φ - начальная фаза.

Скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания;

v_x= t = -Aω₀sin (w₀t + φ) = - Aω₀cos (ω_ot + φ + π/2);

a_x= = - Aω²cos (ω₀t + φ) = -ω₀²x

Динамическое уравнение гармонических колебаний:

- kx или , где ω₀² = k/m

Кинетическая энергия колеблющегося тела массой m:

W_k =mv²/2 = mA²ω₀²sin²(ω₀t + φ)/2.

Потенциальная энергия: W_n= mA²ω₀²cos²(ω₀t + φ)/2.

Полная энергия: W = W_k + W_n = mA²ω₀²/2 = const

Периоды колебания маятников:

пружинного:

математического: ,

физического: ,

где J- момент инерции маятника относительно оси колебаний;

l - расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника;

L =J/ml - приведенная длина физического маятника;

g - ускорение свободного падения

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы и его решение: ; x = Ae^{-β t}cos (ωt + φ),

где x – колеблющаяся величина, описывающая физический процесс;

β= r/2m - коэффициент затухания;

r –коэффициент сопротивления среды;

m - масса;

ω ₀ –свободная циклическая частота незатухающих колебаний той же системы;

ω= (ω₀²- β²)^1/2- частота затухающих колебаний;

Ae^{-β t} - амплитуда затухающих колебаний.

Декремент затухания: A(t)/A(t +T) = e^βt,

где A(t), A(t+T) - амплитуды двух последовательных колебаний соответствующих моментам времени, отличающимся на период.

Логарифмический декремент затухания:

θ=ln A(t)/ A(t+T) = β T = T/τ = 1/N,

где τ – время релаксации

N - число колебаний, совершаемых за время уменьшения колебаний в е раз.

Добротность колебательной системы:

Ω = π / θ = ω₀/2β

Дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний и его решение для установившихся колебаний:

x= Acos (Ωt - φ),

где x – координата колеблющейся точки;

F=F₀cos Ωt – внешняя сила, вызывающая вынужденные колебания;

Амплитуда: A = F₀/ m [(ω₀² - Ω²) + 4 β Ω²]^1/2;

Фаза: φ=arctg 2βπ/(v₀²-Ω²)

Резонансная частота и резонансная амплитуда:

;