7.2. Напряженность и потенциал электростатического поля,

связь между ними. Принцип суперпозиции

Напряженность электростатического поля: где - сила, действующая на точечный положительный заряд Q0, помещенный в данную точку поля. Потенциал электростатического поля: где Wп - потенциальная энергия заряда Q0; A∞ - работа перемещения заряда из данной точки поля за его пределы.

Принцип суперпозиции: Напряженность и потенциал результирующего поля, создаваемого системой точечных зарядов, равны соответственно: , где Е1 и φi - напряженность и потенциал, создаваемый в данной точке поля зарядом Qi.

Разность потенциалов между двумя точками электростатического поля: φ1 – φ2= где A12 – работа поля по перемещению заряда между двумя точками поля

Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля: ; φ1 – φ2 = = , где - линейный интеграл напряженности электростатического поля Однородное электрическое поле: Е = соnst; ; Δφ = Ed

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля: где Е l - проекция вектора E на направление элементарного перемещения dl. Интегрирование производится по любому замкнутому контуру

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2: A12 = Q0(φ1 – φ2); A12 = Q0 = Q0 . Работа по перемещению точечного заряда Q в поле точечного заряда Q0: Работа по перемещению заряда в однородном электростатическом поле: A12 = QE cosα

Пример 9. В вершинах квадрата находятся одинаковые по величине одноименные заряды (рис 9). Определить величину заряда q₀, который надо поместить в центр квадрата, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Будет ли это равновесие устойчивым?

Условие:

q₁ = q₂ = q₃ = q₄ = q;

q_o - ?

Р ешение. Рассмотрим силы, действующие на любой из зарядов в вершинах, например на заряд q₂ (рис. 9). Со стороны зарядов q₁, q₂, q₃ на него действуют силы F₁, F₃, F₄ соответственно, причем F₁ = F₃ = kq²/a² , где а – сторона квадрата, F₄ = kq²/2a². Сила, действующая на заряд q₂ со стороны заряда q₀ равна F₀ = 2kqq₀/a². Условие равновесия заряда имеют вид

, (1)

В проекции на ось х уравнение (1) запишется

F₁ + F₄cos α – F₀ cos α = 0,

или .

Откуда q₀ = q(1 + )/ = 0,9 q.

Согласно теореме Ирншоу, система неподвижных точечных зарядов, находящихся на конечном расстоянии друг от друга, не может находиться в состоянии устойчивого равновесия лишь под действием кулоновских сил.

Пример 10. Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор параллельно пластинам со скоростью v₀ = 1,0·10 ⁶ м/с. Длина конденсатора L=1,0 см, напряженность электрического поля в нем Е =5,0·10³ В/м. Найти скорость v электрона при вылете из конденсатора и его смещение у.

Условие:

v₀ = 1,0·10⁶ м/с;

L = 1,0 см = 0,01 м;

Е = 5,0·10³ В/м;

е = 1,6·10^-19 Кл;

m = 9,1·10^-31кг;

v - ? y - ?

Решение. Сила тяжести, действующая на электрон, равна F_t = mg = 9,1·10^-30 Н.

Кулоновская сила равна F = eE = 8·10^-16 Н, т. е. кулоновская сила много больше, чем сила тяжести. Поэтому можно считать, что движение электрона происходит только под действием кулоновской силы.

Запишем для электрона второй закон Ньютона

ma = F, где F = eE.

Направление осей координат показано на рис. 10. Движение электрона вдоль оси х – равномерное со скоростью v₀, так как проекция силы F на ось х равна нулю, следовательно время, в течении которого электрон пролетает между пластинами конденсатора t = L/v₀.

Движение электрона вдоль оси у – равноускоренное под действием силы F, направленное вдоль этой оси.

Ускорение а_у=а=еЕ/m.

Начальная скорость и смещение электрона вдоль оси у равны: v_y = 0

4,4∙10^-2 м.

Скорость электрона в момент вылета v, направленная по касательной к траектории его движения равна:

v = (v_x² + v_y²)^1/2,

где v_x = v₀, v_y = at.

Окончательно получаем: = 8,7·10⁶ м/с.

Угол между вектором скорости и осью х определяется по формуле

= 83,5⁰.