Тема 4. Основное уравнение вращательного движения. Закон сохранения момента импульса

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения:

J = mr²,

где m –масса,

r –расстояние до оси вращения.

Момент инерции системы материальных точек (тела): J = ,

где r_i – расстояние i–й материальной точки массой m до оси вращения.

В случае непрерывного распределения масс: J = .

Теорема Штейнера: момент инерции тела массой m относительно неподвижной оси вращения, не проходящей через центр масс и параллельный оси вращения:

J = J_z + mr²,

где J_z –момент инерции тела относительно оси z, проходящей через центр масс,

r - расстояние между осями.

Форма тела

Ось вращения проходит через:

Момент инерции

Однородный шар радиусом R и массой m

центр масс

0,4mR²

Круглый однородный цилиндр или диск радиусом R и массой m

центр масс перпендикулярно плоскости основания

0,5mR²

Тонкий обруч или кольцо радиусом R и массой m

центр масс перпендикулярно плоскости обруча

mR²

Однородный тонкий стержень длиной L и массой m

центр масс стержня перпендикулярно стержню

mL²/12

Однородный тонкий стержень длиной L и массой m

конец стержня перпендикулярно стержню

mL²/3

Момент силы относитeльно произвольной точки:

где – радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы .

Модуль момента силы: M = Fl,

где l = r^.sin α – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения)

Момент импульса твердого тела относительно оси вращения:

где –радиус-вектор отдельной i - й частицы;

m_i - импульс этой частицы;

J- момент инерции тела относительно оси; – угловая скорость

Основное уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:

где ε – угловое ускорение;

J_z-момент инерции тела относительно оси

Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы

Работа при вращении тела: ΔA = M_zΔφ

где Δφ - угол поворота тела;

M_z - момент силы относительно оси

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

где J– момент инерции тела относительно оси,

ω - угловая скорость

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

где m– масса тела;

v_c - скорость центра масс тела;

J – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс; ω –угловая скорость тела