13.2. Упругие волны
Связь длины волны λ, периода колебаний T и частоты ν: λ = vT = v/ ν; v = λν , где v –фазовая скорость (скорость распространения колебаний в среде) |
Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х: x(t) = Acos (ωt – kx + φ0) где х(t) – координата точки в момент времени; A –амплитуда волны; ω - циклическая (круговая) частота; k = 2π/λ =2π/vT = ω/v – волновое число; λ – длина волны; v-фазовая скорость; T – период колебаний; φ0 – начальная фаза колебаний |
Связь между разностью фаз Δφ и разностью хода d: Δφ= π d/ λ |
Условия максимумов и минимумов амплитуды при интерференции: Δ φmax= ± 2πm; Δφmin= ± (2m+1)πm Δ dvax = ±m λ; Δ dmin= ± (2m+1) λ /2, где m = 0, 1, 2. |
Фазовая v и групповая скорость u: v= ω/k; u =dω/dk; u = v - λ dv/dλ |
Уравнение стоячей волны: x(t) = 2A(cos 2π x / λ)cosωt = 2Acoskx cos ωt. Координаты nучностей и узлов: xn = + m λ /2; xy = + (m +1/2)λ /2, m=0, 1, 2. |
Пример 17. Сплошной однородный диск колеблется около оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через край диска (рис.). Найти радиус диска, если приведенная длина этого физического маятника равна L = 0,15 м.
Условие:
L = 0,15 м;
R - ?
Решение. Период колебания физического маятника может быть рассчитан двояко: Тф = 2π(L/g)1/2, или Тф = 2π(J/mgd)1/2,
где J - момент инерции диска относительно оси вращения, проходящей через точку О; d – расстояние от оси вращения до центра тяжести, в данном случае d = R.
2π(L/g)1/2 = 2π(J/mgd)1/2 (1)
Из уравнения (1) находим: L = J/md.
По теореме Штейнера: J = J0 + md2,
где J0 –момент инерции относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через центр тяжести. Для диска J0 = mR2/2.
Итак, L = (J0 + md2)/md = 3R/2.
Откуда: R = 2L/3 = 0,10 м.
Пример 18. Определить возвращающую силу F в момент времени t = 0,2 c и полную энергию W точки массой m = 20 г, совершающей гармонические колебания согласно уравнению х = Asin ωt, где А =15 см; ω = 4 с-1. Найти также время t, когда х = А/2.
Решение. Силу по второму закону Ньютона определим как
F = ma, где ускорение а = d2x/dt2 = - Aω2sin ωt.
Тогда F = - mAω2sin ωt = -0,02 H.
Полная энергия колеблющейся точки равна W = mω2A2/2 = =3,55·10-2 Дж.
Время, через которое смещение х =А/2, найдем из того, что
А/2 = Аsin ωt, sin ωt = 1/2, ωt = π/6.
Откуда t = π/6ω = 4,17·10-2 c.
Тема 14. Электромагнитные колебания и волны.
ПЕРЕМЕННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК.
14.1 Свободные электромагнитные колебания в идеализированном колебательном контуре
Колебательный контур – цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивности, конденсатора и резистора, и предназначенная для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний. |
В идеальном колебательном контуре R=0, полная энергия сохраняется:
где
|
Дифференциальное уравнение колебаний заряда в контуре:
Решение
дифференциального уравнения:
Циклическая
частота
=
Период
(формула Томсона):
|
,
- энергия электрического поля
конденсатора,
-
энергия магнитного поля катушки
индуктивности
.
14.2. Свободные затухающие колебания в колебательном контуре
Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний
где
= - собственная частота колебательного контура
Решение
дифференциального уравнения:
Амплитуда
затухающих колебаний
Циклическая
частота затухающих колебаний
Период
затухающих колебаний:
|
,
- коэффициент затухания
.
14.3 Вынужденные электромагнитные колебания
Дифференциальное
уравнение вынужденных электромагнитных
колебаний
где - коэффициент затухания = - собственная частота колебательного контура
|
Зависимость
амплитуды колебаний заряда на
конденсаторе от частоты внешней ЭДС:
|
Резонансная
частота для заряда :
|
Сила
тока при установившихся вынужденных
колебаниях:
|
Резонансная
частота для силы тока:
|
,
14.4. Закон Ома для цепи переменного тока
Индуктивное
сопротивление цепи
Емкостное
сопротивление цепи:
Реактивное
сопротивление цепи:
Полное сопротивление цепи:
Закон
Ома для цепи переменного тока:
Условие
резонанса:
|
Сдвиг
фаз между напряжением и силой тока:
|
Действующие
(эффективные) значения тока и напряжения:
|
Трансформатор – прибор переменного тока, преобразующий напряжение и силу тока, не изменяющий мощность и частоту тока
Коэффициент
трансформации:
где
|
,
- напряжение на первичной и вторичной
обмотках трансформатора,
,
- число витков первичной и вторичной
обмоток
-
трансформатор понижающий
-
трансформатор повышающий
Пример 19. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности 0,4 Гн и конденсатора емкостью 10-5 Ф. Конденсатор зарядили до напряжения 4 В и замкнули ключ. Как зависит от времени заряд, напряжение на обкладках конденсатора и cила тока через катушку, а также энергия магнитного и электрического полей?
Условие:
L= 0,4 Гн
С=10-5 Ф
U=4 В
Q(t), U(t), I(t) - ?
Wэл- ? Wм - ?
Решение
В колебательном контуре происходят колебания с периодом и циклической частотой = = 0,5.103 с.
Напряжение на конденсаторе будет изменяться по закону
В
Поскольку
.
для заряда на конденсаторе имеем
Кл
По определению сила тока равна
,
А
Энергия электрического поля равна:
,
Дж
Энергия магнитного поля определяется по формуле:
,
Дж
________________________________________________________________