Тема 1 5. Законы идеальных газов

15.1 Макроскопические состояния

Число молей вещества: ν = m/M; ν = V/VM, где m – масса; M - молярная масса; V – объем, VM – молярный объем.

Масса одной молекулы: m0= M/NA; m0 = ρ/n, где М – молярная масса, NA= 6,023·1023 моль-1 - число Авогадро; ρ - плотность; n0 - концентрация, определяется из соотношений: n0 = N/V; n = ρ/m0; n = NA/M.

Число молекул в данной массе вещества: N = m/m0 = m Na/M.

Термодинамическая температура связана с температурой шкалы Цельсия T,K = t°C +273,15; t°C = T,K – 273,15°С

9.2 Уравнения состояния идеального газа. Изопроцессы

Уравнения состояния идеального газа (уравнение Менделеева –Клапейрона): для одного моля газа; pVм = RT - для произвольной массы газа: pV = mRT/M; pV = νRT - где Vм - молярный объем; M - молярная масса; m – масса газа; ν = m/M -количество вещества; R – универсальная газовая постоянная

Объединенный газовый закон (уравнение Клапейрона): pV/T =const; p1V1/T1 = p2V2/T2 где p –давление газа; V –объем; T – термодинамическая температура

Закон Бойля –Мариотта (изотермический процесс): pV = const; p1V1= p2V2 при T=const, m = const

Закон Гей-Люссака (изобарический процесс): V =V0(1 + αt) или V/T =const; V1/V2= T1/T2 при p =const, m =const Закон Шарля (изохорический процесс): р= р0(1 + αt) или p/T =const; p1/p2 = T1/T2 при V =const, m =const, где t –температура по шкале Цельсия, V0, p0 –соответственно объем и давление при 00С, коэффициент α =1/273 К-1, p, V, T соответственно давление, объем и термодинамическая температура

Закон Дальтона для давления смеси n идеальных газов: p = , где pi - парциальное давление i -ой компоненты газа

Закон Авогадро: при Т0 = 00С =273 К, р0 =1 атм =1,013·105 Па мольный объем любого газа Vм =22,4 л ·моль-1 = 2,24·10-2 м3·моль-1

Пример 20. В двух баллонах имеются два газа: водород – Н₂ и углекислый газ – СО₂. Во сколько раз число молекул одного газа больше числа молекул другого газа, если массы газов одинаковы?

Условие:

М₁ =2·10^-3 кг/моль;

М₂ =44·10^-3 кг/моль;

N₁/N₂ - ?

Решение. В одном моле вещества содержится число молекул, равное числу Авогадро N =6,02·10²³ моль^-1. Количество вещества водорода ν = m/M_1, а в углекислом газе содержиттся число молей ν₂ = m/M₂. Тогда число молекул водорода N₁ = ν₁N_A = mN_A/M₁, число молекул углекислого газа N₂ = ν₂N_A = mN_A/M₂.

Разделив N₁ на N₂ , получим ответ

N₁/N₂ = M₂/M₁ = 44/2 = 22

Пример 21. В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под давлением р₁ = 1 МПа и при температуре Т₁ = 300 К. После того, как из баллона было взято m = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т₂ = 290 К. Определить давление р₂ гелия, оставшегося в баллоне, и изменение внутренней энергии газа.

Условие:

V = 10 л = 10^-2 м³;

р₁ = 1,0 МПа = 1,0·10⁶ Па;

Т₁ = 300 К;

m = 10 г = 1,0·10^-2 кг;

Т₂ = 290 К;

R = 8,314 Дж/кг·К;

М = 4·10^-3 кг/моль;

р₂ - ? U -?

Решение. Воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:

р₂V = m₂RT₂/M, (1)

где m₂ – масса гелия в конечном состоянии;

М – молярная масса гелия;

R – универсальная газовая постоянная.

Из уравнения (1) выразим искомое давление

р₂ = m₂RT₂/MV. (2)

Массу m₂ гелия выразим через массу m₁, соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона:

m₂ = m₁ – m. (3)

Массу m₁ гелия найдем также из уравнения Менделеева- Клапейрона, применив его к начальному состоянию:

m₁ = Mp₁V/RT₁. (4)

Подставив выражение массы m₁ в уравнение (2), а затем выражение m₂ в уравнение (1), найдем

p₂ = (Mp₁V/RT₁ – m)RT₂/MV, (5)

.

Формула (5) дает единицу давления

[p] = К·Па/К – кг · Дж · К · моль/(кг · моль · м³·К) =

= Па – Дж/м³ = Па – Н·м/м³ = Па.

Вычисления

р₂=290·10⁶/300 – 1,0·10^-2·8,314·290/(4·10^-3·10^-2) = 3,64·10⁵ Па.

Внутренняя энергия газа в исходном состоянии

U₁ = m₁iRT₁/2M.

Для газа, оставшегося в баллоне

U₂ = m₂ iRT₂/2M.

Изменение энергии газа

U = U₁ – U₂ = R(m₁ – m₂) (T₁ – T₂)/M = Rm (T₁ – T₂)/M.

Проверка размерности: [U] = Дж·кг·К·моль/моль·К·кг = Дж.

Ответ: U = 208 Дж.

ЗАДАНИЕ 16. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА