15. Дәрежелік орташа шамалар

Статистикада орташа шама деп біркелкі құбылыс-тардың жиынтығының қайсыбір вариацияланатын белге бойынша жинақтап қорытылған сипаттамасы аталады. Орташа шама жиынтықтың бірлігіне жатқызылған осы белгінің деңгейін көрсетеді. Орташа шама дәрежелік және құрылымдық болып бөлінеді. Дәрежелік орташа шама туралы айтар болсақ, статистикада қолданылатын орташа шама дәрежелі орташалардың жіктемелеріне жатады, олардың жалпы формуласы келесідей болады:

Математикалық статистика дәрежелік орташаның формуласынан орташа шамалардың бірнеше түрлерін бөліп қарастырады.. Жалпы, орташа шаманы мынадай формула түрінде көрсетуге болады

Мынадай ұғымдар мен белгілеулер енгіземіз:

X- белгінің орташа мәні;

Х1, Х2,...., Хn – белгілердің жеке мәндері;

Мұндағы: – дәрежелі орташа шама;

f– жиілік, немесе белгілердің жеке мәндерінің қайталануы;

n– жиынтықтағы бірліктердің саны;

z– дәреже көрсеткіші.

Орташа шаманың түрлері:

Z= -1 – гармониялық орташа,

Z= 0 – геометриялық орташа,

Z= 1 – арифметикалық орташа,

Z= 2 – квадраттық орташа,

Z= 3 – кубтық орташа.

16. Арифметикалық және гармониялық орташа шамалар

Арифметикалық және гармониялық орташа шамалар

Арифметикалық орташа шама варианттың сомасын оның санына бөлуден алынған бөлінді. Дәрежелік орташа шаманың m = 1 болған жағдайында орын алатын түрі. Ол бүкіл жиынтық үшін вариацияланатын белгінің көлемі жекелеген оның бірліктерінің мағыналарының сомасы ретінде құралады. Арифметикалық орташа шаманы есептеу үшін барлық жекелеген варианттарды қосып, алынған сомасы олардың санына бөлу қажет:

Бұл формула арифметикалық жай орташа шаманың формуласы болып табылады. Ал егер, кейбір варианттардың мағынасы бірдей болса, ол кезде арифметикалық орташа шаманы өлшеудің салмақталған (өлшенген) формуласын қолданады:

Арифметикалық орташа шаманың өзіндік ең маңызды ерекшеліктері туралы айтар болсақ:

Орташа шаманың жиілік сомасына көбейтіндісі әрқашан варианттардың жиілікке көбейтінділерінің сомасына тең болады:

∑ f = ∑f

Егер әрбір вариантты қайсы бір ерікті санға кемітсе немесе ұлғайтса, онда жаңа орташа шама сол санға өзгереді:

[∑ (x – A) f ] / ∑ f= - A

Егер әрбір вариантты қайсы бір ерікті санға бөлсе немесе көбейтсе, онда арифметикалық орташа шама сонша есе өзгереді:

[∑ (x *A) f ] / ∑ f= * A

Егер барлық жиіліктерді қайсы бір санға көбейтсе немесе бөлсе,онда арифметикалық орташа шама бұдан өзгермейді.

Жай, сондай-ақ салмақталған арифметикалық орташа шамадан ауытқудың сомасы әр кезде нөлге тең болады.

Гармоникалық орташа шама дәрежелік орташа шаманың m = -1 болған жағдайында орын алатын түрі. Ол өзінің анықтауышы ерекшелігі бойынша белгінің жалпы көлемі варианттардың кері мағыналарының сомасы ретінде құрылғанда қолданылуы тиіс.Ол варианттардың жиілігі емес (f), салмақ ретінде болатын варианттың жиілікке көбейтіндісі (xf = w) болғанда қолданылады.

Гармоникалық орташа шаманы есептеудің жай тәсілі:

Гармоникалық орташа шаманы есептеудің өлшенген тәсілі:

Гармоникалық орташа шаманы қолдануға қойылатын жалпы талаптар туралы айтар болсақ, оны қолданудың жалпы ережесінде гармоникалық орташа шаманы өлшем ретінде жиынтық бірлігі – белгіні тасымалдаушы емес осы бірліктредің белгінің мағыналарына көбейтіндісі қолданылатын жағдайда қолданылған орынды деп айтылады. Осыдан келе, гармоникалық орташа шама шын мәнінде жиынтықтың белгісіз саны қолданылғанда және варианттарды белгінің көлемі бойынша салмақтауға тура келетін жағдайда қолданылатын түрлендірілген арифметикалық орташа шама екенін анықтауға болады.