6.3. Занятие 3

Оценка параметров множественной эконометрической модели методом наименьших квадратов

Проведем оценку параметров модели, полученной в результате выбора существенных объясняющих переменных методом показателей информационной емкости (см. п. 6.1), имеющую следующую форму:

y = a₀ + a₁ x₁ + a₂ x₂ + a₅ x₅ + u

со следующим набором исходных наблюдений, см. табл. 6.4.

Таблица 6.4.

№ наблюдения	Y	x1	x2	x5
1	10,4	865	651	165
2	19,7	9571	1287	354
3	17,7	1334	1046	400
4	17,5	6944	944	312
5	13,1	4425	1084	341
6	14,4	4662	1260	496
7	15,1	2100	1212	264
8	11,9	1215	254	78
9	13,9	5191	1795	375
10	19,5	4965	2851	404
11	14,5	2067	1156	461
12	12,5	2262	1040	422
13	19,8	3210	1421	542

Перед тем, как провести расчеты по формуле (4.4) сформируем вектор y и матрицу Х.

	1	865	651	165
	1	9571	1287	354
	1	1334	1046	400
	1	6944	944	312
	1	4425	1084	341
	1	4662	1260	496
X =	1	2100	1212	264
	1	1215	254	78
	1	5191	1795	375
	1	4965	2851	404
	1	2067	1156	461
	1	2262	1040	422
	1	3210	1421	542

Для вычисления вектора а (оценок параметров модели) по формуле a=(Х^TХ)^-1Х^Tу проведем следующие промежуточные вычисления:

	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	865	9571	1334	6944	4425	4662	2100	1215	5191	4965	2067	2262	3210
XT=	651	1287	1046	944	1084	1260	1212	254	1795	2851	1156	1040	1421
	165	354	400	312	341	496	264	78	375	404	461	422	542

	13	48811	16001	4614
	48811	260842991	67132524	18301190
XTX=	16001	67132524	24148941	6177232
	4614	18301190	6177232	1836172

	0,782414	-2,29647E-05	-7,32614E-05	-0,00149072
	-2,3E-05	1,51162E-08	-2,17108E-08	-1,9918E-08
(XTX)-1=	-7,33E-05	-2,17108E-08	3,43234E-07	-7,5422E-07
	-0,001491	-1,99175E-08	-7,54218E-07	7,02641E-06

	200
XTy =	804722,2
	259269,5
	73535,5

В результате проведенных расчетов по формуле

a=(Х^TХ)^-1Х^Tу

получаем вектор параметров множественной эконометрической модели а:

	9,38708
	0,000478
a =	0,001405
	0,006972

Таким образом, значения параметров множественной модели будут:

a₀ = 9,38708 a₁ = 0,000478 a₂ = 0,001405 a₅ = 0,006972

Выполним оценку стандартных ошибок по каждому оцениваемому параметру, используя формулы (4.2), (4.3), (4.5), (4.6), (4.7).

Рассчитаем новое (оцененное) значение ŷ:

	11,8656
	18,2383
	14,2832
	16,2079
	15,4027
ŷ=X∙a=	16,8439
	13,9343
	10,8685
	17,0049
	18,5827
	15,2134
	14,8717
	16,6968

Найдем вектор остатков e=y-ŷ и вычислим значение e^Te:

	-1,5179
	1,1964
	3,6612
	1,4959
	-2,0009
e=y-ŷ=	-2,2539
	0,9641
	1,0363
	-3,1134
	0,9896
	-0,8220
	-2,5803
	2,9450

e^Te= 57,57194

Находим сначала дисперсию ошибки модели (σ²) по формуле (4.5), а затем ее среднеквадратичную ошибку (σ):

σ² = 6,3969 σ = 2,5292

При n=13 (исходная выборка) и k=3 (количество оцененных параметров) рассчитываем матрицу дисперсии оценок параметров модели по формуле (4.6) (цветом выделены элементы главной диагонали, которые представляют дисперсии оценок параметров модели):

	5,0050099	-0,0001469	-0,00046864	-0,00953596
	-0,000147	9,66965E-08	-1,3888E-07	-1,2741E-07
D2(a)=	-0,000469	-1,3888E-07	2,19563E-06	-4,8247E-06
	-0,009538	-1,2741E-07	-4,8246E-06	4,49471E-05

а затем находим стандартные их ошибки формуле (4.7):

σa₀= 2,2372; σa₁= 0,00031; σa₂= 0,00148; σa₅= 0,00670.

Таким образом, получили оценку следующей множественной эконометрической модели:

ŷ = 9,38708 + 0,000478·x₁ + 0,001405· x₂ + 0,006972· x₅

(2,2372) (0,00031) (0,00148) (0,00670) (2,5292)

Для сравнения проведем оценку параметров множественной модели

y = a₀ + a₁ x₁ + a₂ x₂ + a₅ x₅ + u,

с помощью функции Регрессия в пакете Анализ данных табличного процессора Excel. Результаты расчетов приведены на рис. 6.14.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,719759
R-квадрат	0,518053
Нормированный R-квадрат	0,357404
Стандартная ошибка	2,529205
Наблюдения	13
Дисперсионный анализ
	Df	SS	MS	F
Регрессия	3	61,88501	20,62834	3,22475
Остаток	9	57,57192	6,39688
Итого	12	119,4569
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	9,38708	2,237188	4,195928	0,002321
Переменная X 1	0,000478	0,000311	1,536463	0,158801
Переменная X 2	0,001405	0,001482	0,94809	0,367844
Переменная X 3	0,006972	0,006704	1,039915	0,325509

Рисунок 6.14

Получаем следующие оценки параметров рассматриваемой множественной линейной эконометрической модели:

а₀ = 9,38708 а₁ = 0,000478 а₂ = 0,001405 а₅ = 0,006972

Полученная множественная линейная регрессионная модель будет иметь вид:

ŷ = 9,38708 + 0,000478·x₁ + 0,001405· x₂ + 0,006972· x₅

(2,2372) (0,00031) (0,00148) (0,00670) (2,5292)

Внимание. Для задачи, выбранной в качестве самостоятельной работы, проведите оценку объясняющих переменных, используя матричные операции, а затем воспользуйтесь функцией Регрессия в Excel и сравните полученные результаты между собой.

Проверка адекватности модели

Для практического использования моделей регрессии большое значение имеет их адекватность, т.е. соответствие фактическим статистическим данным.

Если модель признаётся адекватной, то возможно принятие решений на её основе. В противном случае, принятие решений на её основе может привести к нежелательным последствиям.

Проверка адекватности уравнения регрессии (модели) осуществляется с помощью различных методов.

Например, средней ошибки аппроксимации, величина которой не должна превышать 12-15% (максимально допустимое значение) [4].

По критерию Фишера модель признаётся адекватной, если F_модели > F_кр и при этом коэффициенты модели статистически значимы, т.е. числа Стьюдента ta_i коэффициентов больше t_кр.

Проверим эти условия, чтобы сделать вывод об адекватности модели. Вычислим среднюю ошибку аппроксимации на основе оцененных значений ŷ и имеющихся наблюдений y.

y	Ŷ	abs(ŷ-y)/y
10,4	11,87	0,1409
19,7	18,24	0,0742
17,7	14,28	0,1930
17,5	16,21	0,0738
13,1	15,40	0,175779
14,4	16,84	0,169715
15,1	13,93	0,077199
11,9	10,87	0,086681
13,9	17,00	0,223374
19,5	18,58	0,047041
14,5	15,21	0,0492
12,5	14,87	0,189736
19,8	16,7	0,156727
	Ā=	12,75

Средняя ошибка аппроксимации Ā=12,75%.

Интервальное прогнозирование

Шаг 1.

В качестве учебной выборки возьмем первые 12 наблюдений, а в качестве контролирующей выборки 13-е наблюдение, см. табл. 6.5. для модели вида:

y = a₀ + a₁ x₁ + a₂ x₂ + a₅ x₅ + u

Таблица 6.5.

№ наблюдения (учебная выборка)	Y	x1	x2	x5
1	10,4	865	651	165
2	19,7	9571	1287	354
3	17,7	1334	1046	400
4	17,5	6944	944	312
5	13,1	4425	1084	341
6	14,4	4662	1260	496
7	15,1	2100	1212	264
8	11,9	1215	254	78
9	13,9	5191	1795	375
10	19,5	4965	2851	404
11	14,5	2067	1156	461
12	12,5	2262	1040	422

№ наблюдения (контролирующая выборка)	Y	x1	x2	x5
13	19,8	3210	1421	542

Шаг 2.

По учебной выборке проведем оценку параметров полученной модели, используя функцию Регрессия, см. рис. 6.14.

a₀ = 10,282 a₁ = 0,00055 a₂ = 0,00169 a₅ = 0,00177

Шаг 3.

На основе полученных значений параметров модели рассчитаем новое значение ŷ₁₃.и его примем за . Его значение будет равно 15,3992.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,743951
R-квадрат	0,553464
Нормированный R-квадрат	0,386013
Стандартная ошибка	2,342832
Наблюдения	12
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	3	54,42577	18,14192	3,305225
Остаток	8	43,9109	5,488862
Итого	11	98,33667
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	10,28211	2,148588	4,78552	0,001381
Переменная X 1	0,000549	0,000292	1,881783	0,09664
Переменная X 2	0,001687	0,001384	1,218457	0,25776
Переменная X 5	0,001771	0,007031	0,25181	0,807536

Рисунок 6.14

Шаг 4.

Для нахождения значений ŷ₀^- и ŷ₀⁺ по формуле сначала определим промежуточные значения t_крит,

Значение t_крит определим с использованием функции СТЬЮДРАСПОБР(.

t_крит = СТЬЮДРАСПОБР(0,05, 7) = 2,365;

Значение определим по формуле (5.1)

Для этого определим следующие составляющие:

X0=

3210

1421

542

11,6

	3210
X0T=	1421
	542
	11,6

	865	651	165	4,2
	9571	1287	354	13,3
	1334	1046	400	4
	6944	944	312	5,6
	4425	1084	341	4,1
	4662	1260	496	7,3
X=	2100	1212	264	8,7
	1215	254	78	1,9
	5191	1795	375	10,1
	4965	2851	404	12
	2067	1156	461	9,2
	2262	1040	422	9,8

	865	9571	1334	6944	4425	4662	2100	1215	5191	4965	2067	2262
XT=	651	1287	1046	944	1084	1260	1212	254	1795	2851	1156	1040
	165	354	400	312	341	496	264	78	375	404	461	422
	4,2	13,3	4	5,6	4,1	7,3	8,7	1,9	10,1	12	9,2	9,8

	250538891	62571114	16561370	401096,4
	62571114	22129700	5407050	127159,8
XTX=	16561370	5407050	1542408	33224,6
	401096,4	127159,8	33224,6	817,98

	1,86995E-08	1,09165E-09	-2,7514E-08	-8,2E-06
	1,09165E-09	4,85942E-07	-6,114E-07	-5,1E-05
(XTX)-1=	-2,75142E-08	-6,11399E-07	5,98994E-06	-0,00013
	-8,22145E-06	-5,12441E-05	-0,00013476	0,018694

X0∙(XTX)-1=

-4,87048E-05

-0,000231782

0,000726197

0,04459899

X₀∙(X^TX)^-1∙X₀^T = 0,4252;

;

σ_u = 2,4992;

Теперь получим значения ŷ^- и ŷ⁺:

Значение y₁₃ =19,8 попадает в интервал [8,3432; 22,4552]. Можно считать, что полученная модель адекватна и ее можно применить для последующих расчетов значений y.

Внимание. Для задачи, выбранной в качестве самостоятельной работы, проведите оценку модели на адекватность, используя матричные операции и функцию Регрессия в Excel.