4. Оценка параметров множественной линейной эконометрической модели и их качества

Для оценивания методом наименьших квадратов⁵ параметров линейной множественной эконометрической модели вида:

y= a₀+a₁∙x₁ + a₂∙x₂ + ... + а_k∙x_k + u (4.1)

используем матричные записи, введя следующие обозначения:

- вектор наблюдаемых значений объясняемой переменной;

Х = — матрица наблюдаемых значений объясняющих переменных;

a = — вектор оценок параметров модели;

е = — вектор остатков модели.

С учетом введенных обозначений критерий наименьших квадратов можно представить в форме:

S = е^Tе —> min, (4.2)

где

е = у - Ха. (4.3)

Выражение для вектора а оценок параметров модели имеет вид:

a = (Х^TХ)^-1Х^Tу. (4.4)

Дисперсия случайных отклонений оценивается по формуле

(4.5)

Матрица дисперсии и ковариации оценок параметров оценивается по формуле

(4.6)

В матрице дисперсии элементы, лежащие на главной диагонали, представляют собой дисперсии V(a,), i= 0, 1,..., k) оценок параметров модели. Величины

, (4.7)

это стандартные погрешности оценивания параметров.

После того, как будут оценены параметры множественной модели, следует провести их проверку на качество и значимость.

Для оценки качества построенной модели регрессии можно также использовать F-тест.

F - тест

Оценка значимости уравнения регрессии проводится с помощью -критерия Фишера, который заключается в проверке гипотезы о статистичес­кой незначимости уравнения регрессии. Для этого выполняется сравнение фактического и критического (табличного) значений - крите­рия Фишера.

определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы, т.е.

или (4.8)

где n – численность выборки,

k – количество оцениваемых параметров при х (количество регрессоров).

– максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при степенях свободы =1, = -2 и уровне значимости находится из таблицы -критерия Фишера (Таблица 1 Приложение 1), либо, если для расчетов применяется табличный процессор Excel, то его можно рассчитать, используя функцию FРАСПОБР(α;ν₁;ν₂).

Уровень значимости – это вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна.

Если то гипотеза об отсутствии связи изучаемого показателя с фактором отклоняется и делается вывод о существенности этой связи с уровнем значимости (т.е. уравнение регрессии значимо).

Если то гипотеза принимается и признается статистическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии.

t – тест

Для линейной регрессии значимость оцененных коэффициентов регрессии определяется с помощью -критерия Стьюдента, согласно которому выдвигается гипотеза о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Далее рассчитываются фактические значения критерия для каждого из оцениваемых коэффициентов регрессии, т.е.

(4.9)

где – стандартные ошибки параметров линейной регрессии.

– максимально возможное значение критерия Стьюдента под влиянием случайных факторов при данной степени свободы и уровне значимости находится из таблицы критерия Стьюдента (таблица 2 приложение 1), либо, если для расчетов применяется табличный процессор Excel, то его можно рассчитать, используя функцию CТЬЮДРАСПОБР(1-α;υ₂).

Если то гипотеза о несущественности коэффициента регрессии отклоняется с уровнем значимости т.е. коэффициент ( или ) не случайно отличается от нуля и сформировался под влиянием систематически действующего фактора

Если то гипотеза не отклоняется и признается случайная природа формирования параметра.

При проверке статистической значимости параметров модели можно использовать следующее приближенное правило⁶:

1) если |t_фак| <1, то данный коэффициент не может быть признан значимым (доверительная вероятность меньше 0,7);

2) если 1< |t_фак| <2, то данный коэффициент может быть признан значимым c доверительной вероятностью в диапазоне между 0,7 – 0,95;

3) 2< |t_фак| <3, то данный коэффициент может быть признан значимым c доверительной вероятностью в диапазоне между 0,95 – 0,99;

4) если |t_фак| >3, то значимость данного коэффициента очевидна (доверительная вероятность находится в диапазоне между 0,99 и выше).

При этом, чем больше объем выборки, тем надежнее вывод о значимости коэффициента.

См. дополнительно литературу: [1, с. 66 – 72], [2, с 302 -315], [3, c. 72 - 117], [5, с. 50-80], [7, с. 34 - 48], [8]; [9] [ ]

Значимость линейного коэффициента корреляции также проверяется с помощью -критерия Стьюдента, т.е.

(4.10)

Гипотеза о несущественности коэффициента корреляции отклоняется с уровнем значимости если

Замечание. Для парной линейной регрессии проверка гипотезы о значимости коэффициента и коэффициента корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности уравнения регрессии в целом, т.е.

Для каждого полученного параметра парной линейной регрессии сначала рассчитывают предельную ошибку:

(4.11)

а затем рассчитываются доверительные интервалы:

(4.12)

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается равным нулю, так как он одновременно не может принимать и положительное, и отрицательное значения.

См. дополнительно литературу: [1, с. 31 - 62]; [2, с. 302 -316]; [3, c. 72 -117]; [5, с. 60 - 64]; [7, с. 48 - 57]; [10]; [11].