3. Теорема Гауса-Маркова и проверка ее гипотез

Имеется выборка значений переменных y и x_i (i=1,k)

(y₁, x_11, x₂₁,…, x_k1), (y₂, x_12, x₂₂,…, x_k2,), …. ,(y_n, x_k1, x_k2,…., x_kn)

линейной множественной модели регрессии

то в рамках этой модели величины y и x_i связаны системой уравнений наблюдения объекта в виде линейных алгебраических уравнений:

(3.1)

Данная система называется схемой Гауса-Маркова.

Матричная форма спецификации модели имеет вид:

y = a∙X + u, (3.2)

где

y = (y₁, y₂, y₃, …, y_n)^T – вектор-столбец значений объясняемой (эндогенной) переменной;

- детерминированная матрица объясняющих переменных;

а = (a₁, a₂, a₃, …, a_k)^T - вектор столбец параметров модели;

u = (u₁, u₂, u₃, …, u_n)^T – вектор-столбец случайных возмущений.

Тест Голдфелда-Квандта

Тест Голдфелда-Квандта предназначен для проверки условия теоремы Гауса-Маркова о гомоскедастичности случайного остатка в модели, т.е. проверяется статистическая гипотеза о равенстве дисперсий случайных остатков в наблюдаемых уравнениях (см. схему Гауса-Маркова).

Н₀: Var(u₁) = Var(u₂)= …= Var(u_n) = σ_u²

Реализация теста осуществляется по следующему алгоритму:

Шаг 1. Рассчитывается новый столбец z, являющийся суммой абсолютных значений имеющихся объясняющих переменных, т.е.

z = |x₁|+|x₂|+…+|x_k|

После этого уравнения наблюдений y =a∙X +u, упорядочивают по возрастанию переменной z.

Шаг 2. Полученный отсортированный массив разбивают на две равные части (n₁ = n₂ = n/2). Если массив большой или количество значений в массиве нечетное (для небольших массивов), то его разбивают на 3 части (n₁ = n₃ ≈ 0,3n). При этом число элементов в первой части и число элементов в третьей части должны быть одинаковыми.

Шаг 3. Для первой части отсортированного массива рассчитывается величина ESS₁⁴:

(3.3)

где - оценка случайного возмущения (остатков) u_i

Шаг 4. Аналогично рассчитывается величина ESS₂ для другой части отсортированного массива:

Шаг 5. Вычисляется статистика Голдфелда-Квандта (GQ):

и обратная ей (3.4)

Шаг 6. Задается уровень значимости α и при количествах степеней свободы обоих частей массива v₁ = v₂ = n₁-(k+1) определяется F_крит = F_1-α распределения Фишера по таблице 1 (см. Приложение 1), либо, если для расчетов применяется табличный процессор Excel, то F_крит можно рассчитать, используя функцию FРАСПОБР(1- α; v₁, v₂).

Шаг 7. Гипотеза Н₀ принимается, если справедливы следующие два неравенства

GQ ≤ F_крит ,

GQ^-1 ≤ F_крит , (3.5)

т.е. случайный остаток в парной эконометрической модели в этом случае полагается гомоскедастичным. В противном случае гипотеза Н₀ отклоняется и делается вывод, что случайный остаток в парной эконометрической модели является гетероскедастичным.

В случае гетероскедастичности остатков возникает вопрос, какая из объясняющих переменных вносит эту гетероскедастичность. Для этого проводится тест Голдфелда-Квандта отдельно по каждой из имеющихся переменных.

При наличии гетероскедастичности проводится ее устранение соответствующими методами.

Тест Дарбина-Уотсона для множественной линейной эконометрической модели проводится аналогично парной линейной эконометрической модели.

См. дополнительно литературу:[1, с. 32 - 49 ], [2, с. 186 - 189]; [5, с. 157 - 163]; [7, с. 41 - 48, с. 62 - 80]; [10]; [11].