6. Уравнение плоскости, параллельной двум неколлинеарным векторам и проходящей через точку.
Пусть
даны два вектора а
и а
и точка
.
Если векторы а
и а
не коллинеарны, то через точку
можно провести единственную плоскость,
параллельную векторам а
и а
.
Уравнение плоскости, параллельной векторам а и а и проходящей через данную точку имеет вид:
(3.24)
7.
Уравнение плоскости, проходящей через
точку
перпендикулярно
вектору п(А,
В,
С):
(3.25)
8. Нормальное уравнение плоскости.
Рассмотрим
произвольную плоскость. Проведем из
начала координат прямую, перпендикулярную
данной плоскости. Пусть Р – точка
пересечения плоскости и прямой (см. рис.
3.6). Вектор
является вектором нормали к данной
плоскости. Направляющие косинусы этого
вектора: cos,
сos,
cos.
Обозначим р – расстояние от начала
координат до рассматриваемой плоскости,
т.е. р = ОР.
Тогда нормальное уравнение плоскости запишется в виде
x cos + y cos + cos – p = 0 . (3.26)
Рис. 3.6
Заметим, что р не может быть отрицательным, так как это расстояние от точки О до плоскости.
Пусть
теперь М(х,
у, z)
– произвольная точка пространства.
Выражение
называется отклонением точки М
от данной плоскости. По знаку отклонения
d(M)
можно определить взаимное расположение
точек М и
О относительно плоскости: если
d(M)
> 0, то М
и О лежат по разные стороны от
плоскости; если d(M)
< 0, то М
и О лежат по одну сторону от
плоскости.
Пусть дано общее уравнение плоскости (3.20): Ах + Ву + Сz + D = 0.
Укажем
алгоритм приведения общего уравнения
плоскости к нормальному виду: для
этого надо умножить все уравнение на
нормирующий множитель
,
знак которого противоположен знаку
свободного коэффициента.
Обозначим d – расстояние от точки М(х, у, z) до данной плоскости. Используя нормирующий множитель, можно получить формулу для нахождения расстояния от точки М(х, у, z) до плоскости, заданной общим уравнением:
(3.27)
3.3. Виды уравнений прямой в пространстве
1. Общие уравнения прямой.
Прямую можно определить как линию пересечения двух плоскостей. Это и будут общие уравнения прямой:
(3.28)
причем
плоскости не параллельны и не совпадают,
т.е. хотя бы одно из равенств в соотношении
не должно выполняться.
2. Канонические уравнения прямой.
Любой ненулевой вектор а = (т, п, l), параллельный данной прямой, называется направляющим вектором прямой.
Пусть дана точка , лежащая на прямой, и направляющий вектор прямой а = (т, п, l). Тогда канонические уравнения прямой будут иметь вид:
(3.29)
Заметим, что канонические уравнения (3.29) следует понимать как пропорцию. Это означает, что если один из знаменателей окажется равным нулю, то нулю должен будет равняться и соответствующий числитель.
Для того, чтобы по общим уравнениям прямой (3.28) записать канонические уравнения (3.29) этой прямой, необходимо найти: