3. Свойства предела последовательности

Элементарные свойства предела последовательности:

1. Если последовательность имеет предел, то он единственен.

2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

3 (о предельном переходе в неравенствах). Если последовательности и сходятся и  для всех n, то .

4. Если и для всех п справедливо неравенство     , то .

Арифметические свойства пределов последовательностей:

Пусть  a,  b, тогда

1.   a  b,

2.   a  b,

3.   a  b, b 0.

Заметим, что пределы суммы, разности, произведения и частного могут существовать и без существования пределов и .

4. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Определение 4.6. Последовательность называется бесконечно малой, если   > 0  N, начиная с которого каждый член последовательности х_n по модулю меньшее . Или  > 0  N n >N | х_n |<.

Обозначение: .

Последовательность называется бесконечно большой, если P>0   n > N | х_n | > P.

Обозначение: .

Бесконечно большая величина ни к какому конечному пределу не стремится.

Если бесконечно большая величина , начиная с некоторого номера N, принимает только положительные (отрицательные) значения, то пишут . Однако существуют бесконечно большие, для которых , но и .

Теорема 4.1. Для того, чтобы последовательность была бесконечно большой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность , где у_n = 1/ , была бесконечно малой.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1. Последовательность имеет предел а тогда и только тогда, когда , где – бесконечно малая величина.

2. Стационарная последовательность является бесконечно малой тогда и только тогда, когда с = 0.

3. Если отбросить (или добавить) конечное число членов бесконечно малой последовательности, то она останется бесконечно малой последовательностью.

4. Если – бесконечно малая последовательность и  n выполня­ется | y_n |  | х_n |, то - бесконечно малая последовательность.

5. Бесконечно малая последовательность является ограниченной.

6. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

7. Если – бесконечно малая последовательность, а – ограниченная последовательность, то их произведение {х_n  y_n} является бесконечно малой последовательностью.

8. Если – ограниченная последовательность, а – бесконечно большая последовательность, то – бесконечно малая.

9. Если – ограничена снизу, а – бесконечно малая последовательность, то – бесконечно большая.

Можно определить понятие предела последовательности на языке бесконечно малых последовательностей: число а называется пределом последовательности , если {х_n – а} – бесконечно малая последовательность, т.е. .

5. Монотонная ограниченная последовательность

Определение 4.7. Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если ( ).

Последовательность называется убывающей (невозрастающей), если ( ).

Все такие последовательности называются монотонными. При этом говорят, что последовательность монотонно возрастает или монотонно убывает.

Теорема 4.2. Пусть – монотонно возрастает (убывает). Если она ограничена сверху (снизу) числом М, то она имеет предел, не превосходящий М (не меньший М).

Рассмотрим числовую последовательность , где .

 2,718281… (4.1)

Это число имеет исключительную важность для математического анализа и его приложений. Некоторые свойства числа е делают особо выгодным выбор этого числа в качестве основания логарифма. Такие логарифмы называются натуральными и обозначаются ln.