§ 2. Определители
2.1. Основные понятия
Квадратной матрице А порядка п можно сопоставить число det A ( или |А|, или ∆), называемое ее определителем (детерминантом), следующим образом:
det
A =
.
Основываясь на определении, запишем явные формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков:
det
A =
(2.1)
det A =
(2.2)
Пример2.1:
.
.
Выражение определителя третьего порядка является достаточно громоздким. Для запоминания формулы существует удобный способ, который схематично можно изобразить следующим образом:
2.2. Свойства определителей
Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков.
Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.
При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
Определитель, имеющий две одинаковые строки, равен нулю.
Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.
Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.
Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число.
Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.
Минором
элемента
определителя п-го порядка называется
определитель п-1-го порядка, полученный
из исходного путем вычеркивания строки
и столбца, на пересечении которых
находится выбранный элемент
,
т.е. i-й строки и j-го
столбца.
Алгебраическим дополнением элемента определителя называется произведение:
.
(2.3)
Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.
(2.4)
(2.5)
Эти формулы называются формулами разложения определителя по i-й строке и по j-му столбцу, соответственно.
В качестве примера запишем формулу разложения определителя третьего порядка по первой строке:
∆ =
(2.6)
Заметим, что при использовании формулы разложения определителя по строке (или по столбцу) удобно иметь в этой строке (в этом столбце) много элементов, равных нулю (тогда соответствующие им миноры не надо будет вычислять). Поэтому полезно предварительно так преобразовать определитель, чтобы в одной из строк (или в одном из столбцов) только один элемент остался, отличный от нуля.
Пример2.2. Вычислить определитель четвертого порядка:
.
Решение. Выполним следующее преобразование: умножим второй столбец на (–4) и прибавим его к третьему столбцу. Затем разложим полученный определитель по первой строке. Получим:
.
Умножая первую строку на (–2) и прибавляя ее ко второй строке, затем, раскладывая полученный определитель по первому столбцу, вычисляем:
.
Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.