Свойства предела функции
Снова будем предполагать, что а – либо конечное число, либо (+∞ или –∞).
Если функция имеет предел при х а, то он единственен.
Если функция имеет конечный предел при х а, то она ограничена в некоторой окрестности точки а.
О предельном переходе в неравенствах. Если ,
и в некоторой окрестности точки а
выполняется
неравенство f(х)
g(x),
то b
c.
О пределе промежуточной функции. Если
и в некоторой окрестности точки а
справедливо f(x) g(x) h(x),
то
.Арифметические свойства пределов: пусть , , где b и с – конечные числа, тогда
,
,
,
если
c
0.
Односторонние пределы
Определение 4.16. Число b называется левым пределом функции f(x) при х а, если > 0 > 0 x : 0 < a – x < | f(x) – b | < . См. рис. 4.6.
Обозначение:
.
Число b называется правым пределом функции f(x) при х а, если > 0 > 0 x : 0 < x – a < | f(x) – b | < . См. рис. 4.7.
Обозначение:
.
Если
а
= 0, то используют обозначение
и
.
Рис. 4.6 Рис. 4.7
Можно дать другие определения левого и правого пределов.
Определение
4.17. Левой
окрестностью
точки а
называется произвольный полуинтервал
,
а правой
окрестностью
точки а
называется произвольный полуинтервал
.
Левая
и правая окрестности точки ∞ будут,
соответственно,
и
.
Определение
4.18. Число
b
называется левым
(правым) пределом функции
f(x)
при х
а,
если
определена в некоторой левой (правой)
окрестности точки а,
и если >
0
левая
(правая) окрестность
,
такая что
,
,
выполняется | f(x)
– b
|
< .
Левый
и правый пределы в точке ∞ записываются
следующим образом:
и
.
Левый и правый пределы называют односторонними, обычный предел называют двусторонним.
Теорема
4.4. Для того
чтобы существовал
,
необходимо и достаточно, чтобы существовали
односторонние пределы
и
и чтобы они были равны между собой, т.е.
.
Критерий Коши существования предела функции
Так же как и для последовательности, для функции существует аналогичный критерий Коши существования предела.
Определение
4.19. Функция
называется функцией, удовлетворяющей
условию Коши
при
,
если
окрестность
точки а,
такая что
справедливо
,
или на языке
:
,
если
,
то
.
Теорема 4.5 (Критерий Коши). Для того чтобы функция имела предел в точке а, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши в точке а.
Замечательные пределы
Первый
замечательный предел:
(4.2)
Эта
формула получается из неравенства:
,
которое верно в некоторой окрестности
нуля. Положим сначала, что х
положительно, тогда
и поэтому
.
Переворачивая неравенство, получаем
.
Отметим, что последнее неравенство
верно и при х
отрицательных, так как
и
.
Поскольку
,
то по свойству о пределе промежуточной
функции получаем:
.
Второй замечательный предел записывается в двух видах:
(4.3)
Существование этого предела для натуральных х было обосновано при изучении числовых последовательностей.
Примеры.
1.
.
2.