6. Критерий Коши существования предела последовательности

Критерий Коши является общим признаком существования предела последовательности. Он позволяет определять сходимость последовательности без нахождения самого предела последовательности.

Определение 4.8. Последовательность называется фундаментальной, если   > 0   n, m > N | - | < .

Фундаментальную последовательность можно еще определить следующим образом:   > 0   n > N,  p  N | - | < .

Теорема 4.3. (Критерий Коши). Чтобы последовательность сходи­лась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Примеры.

1. 

2). т. к.

4.2. Предел функции

7. Предел функции на бесконечности

Понятие предела функции на бесконечности является в определенном смысле обобщением понятия предела последовательности.

Определение 4.9. Функцию f(x) определённую на луче (Q, +), называют бесконечно малой при х  +, если   > 0  М > 0 такое, что  x > M выполняется | f (x)| < . См. рис. 4.2.

Обозначение: .

Функцию f (x), определенную на луче (– , а) называют бесконечно малой при х  – , если   > 0  M > 0 такое, что  x < - M выполняется | f(x) | < .

Обозначение: .

Поскольку вместо двух неравенств х < -М , x > M можно записать | х | > М, то можно объединить два приведенных выше определения в одно.

Функцию, определённую на (– ; a₁ )  (a₂ ; + ), называют бесконечно малой при х   (±), если   > 0  M > 0 такое, что  x, если | x | > M, то | f(x) | < .

Обозначение: .

Рис. 4.2 Рис. 4.3

Определение 4.10. Число b называют пределом функции f(x) при х, если | f(x) – b | – бесконечно малая функция при х  , при этом пишут .

Приведем определение предела функции на бесконечности по Коши.

Определение 4.11. Число b называют пределом функции f(x) при х  , если   > 0  M > 0  x; если | x | > M, то | f(x) - b| < . См. рис. 4.3.

8. Предел функции в точке

Определение 4.12. Функцию f(x) называют бесконечно малой при х  а, если   > 0   > 0  x из неравенства | x – a | <  следует неравенство | f(x) | < . См. рис. 4.4.

Обозначение: .

Рис. 4.4 Рис. 4.5

Число b называют пределом функции f(x) при х  а, если f(х) – b является бесконечно малой функцией при х  а.

При этом пишут .

Можно снова привести определение предела функции в точке по Коши или, другими словами, на языке -.

Определение 4.13. Число b называют пределом функции f(x) при ха, если   > 0   > 0  x, если | x – a | < , то | f(x) – b | < .

Определение предела говорит о том, что если х приближается к а по любому закону, оставаясь не равным а, то f(x) приближается к b, делается как угодно близким к b.

9. Бесконечно большие функции

Определение 4.14. Функция у = f(х), определённая на объединении двух лучей (–; a₁ )  (a₂ ; +), называется бесконечно большой при х  , если  P > 0  M > 0  x, если | x | > M, то | f(x) | > Р.

Обозначение: .

Можно так же определить бесконечно большую функцию в точке.

Определение 4.15. Функцию f(x) называют бесконечно большой при х  а, если  Р > 0   > 0  x из неравенства | x – a | <  следует неравенство | f(x) | > P. См. рис. 4.5.

Обозначение: .

Приведем свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. При этом будем предполагать, что а – либо конечное число, либо (+∞ или –∞).

1. Если , то , где – бесконечно малая при . Верно и обратное.

2. Постоянная функция у = с является бесконечно малой при х  а тогда и только тогда, когда c = 0.

3. Сумма, произведение конечного числа бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.

4. Если f(x) – бесконечно малая функция при х  а, то она является ограниченной в некоторой окрестности точки а.

5. Если f(x) – бесконечно малая функция при х  а, а g(x) – ограниченная функция в некоторой окрестности точки а, то их произведение является бесконечно малой функцией при .

6. Если f(х) – бесконечно малая функция при х  а и в некоторой окрестности точки а выполняется неравенство |g(x)|  |f(х)|, то и g(x) – есть бесконечно малая функция на соответствующем интервале.

7. Если и – бесконечно малая при , т.е. , то – бесконечно большая, т.е. .

8. Если и – бесконечно большая при , т.е. , то – бесконечно малая, т.е. .